嗨，我来帮你搞定这个组合数方程的问题，其实不用硬展开阶乘折腾，组合数本身的对称性性质就能快速解决，当然我也会帮你梳理阶乘化简的思路，让你明白背后的逻辑~

先讲核心解法：利用组合数的对称性性质 #

组合数有个非常关键的性质：对于$\binom{n}{x} = \binom{n}{y}$，只有两种可能的情况：

• 第一种：$x = y$，也就是两个选取的数量完全相等；
• 第二种：$x + y = n$，这是因为$\binom{n}{x} = \binom{n}{n-x}$——从n个元素里选x个，和选剩下的n-x个是等价的。

回到你要解的方程$\binom{20}{r-1}=\binom{20}{r+3}$，我们分别验证这两种情况：

1. 情况一：$r-1 = r+3$
   化简后得到$-1=3$，显然不成立，这种情况没有解。

2. 情况二：$(r-1) + (r+3) = 20$
   计算一下：
   $$2r + 2 = 20$$
   $$2r = 18$$
   $$r = 9$$

   别忘了验证r的有效性：组合数的上标必须是非负整数且不超过20，所以$r-1≥0$（即$r≥1$），$r+3≤20$（即$r≤17$），r=9完全符合这个范围，是有效的解。

再聊聊你提到的阶乘化简思路 #

如果你想从阶乘展开的角度理解，我们来一步步梳理：
首先，组合数的展开式是$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$，所以原方程展开后是：
$$\frac{20!}{(r-1)!(21-r)!} = \frac{20!}{(r+3)!(17-r)!}$$

两边的$20!$可以直接约掉，得到：
$$\frac{1}{(r-1)!(21-r)!} = \frac{1}{(r+3)!(17-r)!}$$

交叉相乘后：
$$(r+3)!(17-r)! = (r-1)!(21-r)!$$

这时候关键是拆分阶乘：

• $(r+3)!$可以拆成$(r+3)(r+2)(r+1)r \times (r-1)!$（因为$m! = m \times (m-1) \times ... \times k!$，当$m>k$时）；
• $(21-r)!$可以拆成$(21-r)(20-r)(19-r)(18-r) \times (17-r)!$。

把这两个拆分代入等式，两边的$(r-1)!$和$(17-r)!$就可以约掉，最终得到：
$$(r+3)(r+2)(r+1)r = (21-r)(20-r)(19-r)(18-r)$$

代入r=9验证的话，左边是$12×11×10×9=11880$，右边是$12×11×10×9=11880$，完全相等，也能得到正确的解。

不过显然用组合数的对称性性质来解要高效得多，不用绕阶乘化简的弯路~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math forever