嘿，这个问题问得相当到位！咱们来把它拆解明白～

首先得明确：标准单位矩阵的核心属性是它能和任意同阶方阵双向相乘（左乘、右乘）后保持原矩阵不变，同时对角元全为1、其余为0。那回到你的问题：

1. 有没有通用的矩形单位矩阵等价物？ #

答案是——没有。原因很简单，矩阵乘法有严格的维度匹配规则：

• 假设我们想找一个p×q的矩形矩阵I'，让它左乘任意m×n矩阵A后得到A，那必须满足q=m（左乘要求前一个矩阵的列数等于后一个的行数），同时结果的行数p必须等于A的行数m，这么一来I'就成了m×m的方阵——也就是标准单位矩阵。
• 右乘同理，要让A·I' = A，I'必须是n×n的方阵，还是标准单位矩阵。

所以从通用作用的角度，矩形矩阵没法替代方阵单位矩阵的角色，维度规则直接把它限制成了方阵。

2. 附加条件下能构造类似的矩形数学对象吗？ #

当然可以！只要我们缩小适用范围或者定义特定的作用场景，就能造出有类似“单位”效果的矩形矩阵：

• 针对特定矩阵的左/右逆矩阵：比如如果A是m×n的列满秩矩阵（秩等于n），那存在一个n×m的矩形矩阵L，满足L·A = I_n（n阶单位矩阵）——这个L叫A的左逆，它和A相乘能得到单位矩阵，起到了类似“反向单位”的作用；同理，行满秩矩阵有右逆R，满足A·R = I_m。
• 分块矩阵中的局部单位块：在分块运算里，我们经常用类似[[I_m, 0], [0, 0]]的矩形分块矩阵（比如是(m+k)×(m+n)的尺寸），它左乘同维度的分块矩阵时，会完整保留前m行的信息，其余行置0，相当于局部的“单位作用”。
• 子空间映射的单位变换矩阵：如果我们考虑从低维子空间到另一个同维子空间的线性变换，比如把R³里的x-y平面向量映射到R⁴里的x-y平面，对应的矩阵就是[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,0],[0,0,0]]——这个矩形矩阵在作用于目标子空间的向量时，完全保留向量的“身份”，和单位矩阵的效果一致。

总结一下：如果想要一个能对标标准单位矩阵、对所有矩阵都生效的矩形等价物，是不可能的；但只要附加一些条件（比如限定作用的矩阵类型、子空间场景），就能构造出具有类似单位矩阵作用的矩形数学对象。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tuong Nguyen Minh