各位好！最近在学习概率分布和泊松过程的时候，发现了一个让我特别惊讶的关联，但始终想不通背后的直观逻辑，来这里请教大家：

假设我们有n个独立同分布的指数随机变量 $X_1,X_2,\ldots,X_n$，都服从参数为1的指数分布 $\operatorname{Exp}(1)$。令 $Y = X_1+X_2+\ldots+X_n$，我们知道Y的概率密度函数是Gamma分布：
$$
f_Y(t)=\frac{t^{{n-1}}{(n-1)!}e}{-t}, \quad t\geq 0
$$

让我意外的是，这个表达式完全就是参数为t的泊松分布在n-1处的概率质量函数！如果我们定义一个速率为1的泊松过程 $N_t$，那么 $\frac{t^{{n-1}}{(n-1)!}e}{-t}$ 就等于 $P(N_t=n-1)$。

而且我们知道，泊松过程的事件间隔本身就是独立同分布的指数变量，所以其实可以把这个等式写成：
$$
P\left(\sum_{i=1}^{n-1}X_i\leq t, \sum_{i=1}^n X_i>t\right)= P(N_t=n-1)=\frac{t^{{n-1}}{(n-1)!}e}{-t}
$$

我总觉得这里面肯定有一个很直观的解释，能把这两个看起来不同的分布联系起来，但自己琢磨了很久都没理清，想请大家帮忙拆解下这个关联背后的直观意义呀！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者andy