嘿，这个问题提得特别有意思——咱们先从你提到的正五边形螺旋拼接说起，其实这类曲面在几何领域已经有不少成熟的研究了，我来给你梳理梳理核心的方向和概念：

核心概念与对应的研究领域 #

首先，你描述的这种「强行把正多边形在欧氏平面重叠拼接，再展开到高维空间避免自交」的曲面，本质上属于带锥形奇点的黎曼曲面，也常被归类到欧氏锥面或正则平铺的覆盖/商曲面范畴中，具体分情况来看：

1. 正五边形构造的曲面 #

你提到的用10个正五边形绕顶点拼接后闭合的曲面，是典型的带正锥形奇点的紧致黎曼曲面：

• 每个奇点处的「锥角」是10×108°=1080°（正五边形内角为108°），比欧氏平面的360°整圈多了2圈，这种额外的旋转会给曲面带来拓扑亏格（用欧拉公式计算的话，这类闭合曲面通常是亏格2或更高的曲面）。
• 这类曲面的研究主要集中在：
  • 复几何与Teichmüller空间：人们会研究同类型曲面的分类空间（moduli space），也就是所有拓扑等价但几何不同的这类曲面的集合，以及它们的变形性质；
  • 度量几何：探究这类曲面是否存在常曲率度量，以及奇点对整体几何性质的影响；
  • 代数曲线等价性：所有紧致黎曼曲面都和代数曲线一一对应，所以这类曲面也可以用代数几何的工具来分析，比如它们的方程、奇点的代数表示等。

2. 任意正n边形的推广情况 #

不管n是多少，只要你选择在每个顶点周围放置k个正n边形（满足k×(n-2)×180°/n ≠ 360°，也就是无法在欧氏平面平铺的情况），都能构造出类似的曲面：

• 当k×(n-2)×180°/n > 360°（也就是你说的重叠拼接）：对应带正锥形奇点的曲面，可以嵌入到4维及以上欧氏空间中避免自交；
• 当k×(n-2)×180°/n < 360°（拼接后有缝隙）：对应带负锥形奇点的曲面，或者等价于双曲平面的商空间（如果是无限拼接的话），这类曲面在双曲几何里有大量研究，比如双曲平铺的商空间的拓扑与几何性质。

3. 高维嵌入的相关研究 #

你提到的「在4维空间中实现无自交嵌入」，这其实属于曲面的高维嵌入理论的范畴：

• 任何紧致曲面都可以嵌入到4维欧氏空间中（这是Whitney嵌入定理的结论），而你构造的这类带奇点的曲面自然也符合这个结论；
• 研究人员会关注这类嵌入的唯一性、几何对称性，以及嵌入后的曲面与4维空间的交互性质。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rivers McForge