嘿，最近我在帮我的小侄子做数学作业，碰到了一个难题——我虽然修过好几门大学数学课程，但居然卡壳了！问题是这样的：

有一个直角三角形ABC，直角在点C处。通过点反射得到三个点：

• 点A'是A关于C的反射点
• 点B'是B关于A的反射点
• 点C'是C关于B的反射点

已知|AB|、|BC|、|CA|的长度，计算|A'B'|²、|B'C'|²、|C'A'|²。要求不能使用三角函数，只能用勾股定理和三角形的基本性质（比如高、垂心相关的恒等式等）。

我自己算出了|C'A'|² = 4|CB|²+|AC|²，但另外两个怎么算完全没头绪，有没有大佬能给讲讲思路？

解题思路与步骤 #

其实用坐标系法就能轻松解决，全程只用到勾股定理，完全符合要求，我给你一步步理清楚：

1. 建立坐标系简化问题
   把直角顶点C放在坐标系原点(0,0)，让AC沿着y轴，BC沿着x轴。设|AC|=b，|BC|=a，|AB|=c，根据勾股定理，必然满足a² + b² = c²。

2. 计算各反射点的坐标
   根据点反射的中点性质（反射中心是原点点与反射点的中点）：

• A点坐标是(0,b)，关于C(0,0)反射得到A'，坐标为(0,-b)；
• B点坐标是(a,0)，关于A(0,b)反射得到B'，由中点公式可得B'的坐标为(-a, 2b)；
• C点坐标是(0,0)，关于B(a,0)反射得到C'，同理可得C'的坐标为(2a, 0)。

3. 用距离公式（勾股定理）计算线段平方
   两点间距离的平方本质就是横向差的平方加纵向差的平方：

• |A'B'|²：A'(0,-b)到B'(-a,2b)，横向差平方为(-a - 0)² = a²，纵向差平方为(2b - (-b))² = 9b²，总和为a² + 9b²，也就是**|BC|² + 9|AC|²**；如果想用|AB|表示，代入a² = c² - b²，可得|AB|² + 8|AC|²。
• |B'C'|²：B'(-a,2b)到C'(2a,0)，横向差平方为(2a - (-a))² = 9a²，纵向差平方为(0 - 2b)² = 4b²，总和为9a² + 4b²，也就是9|BC|² + 4|AC|²；用|AB|表示的话就是9|AB|² - 5|AC|²。
• |C'A'|²：你算的完全正确！C'(2a,0)到A'(0,-b)，横向差平方为(0 - 2a)² = 4a²，纵向差平方为(-b - 0)² = b²，总和为4a² + b² = 4|BC|² + |AC|²。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ampersander