嘿，你提的这个问题很有意思，咱们先从你说的例子开始聊起，再补充几个经典的“不良对”例子～

首先要明确一下邻域形变收缩核的定义：若$(A,X)$是“好对”，则存在$A$在$X$中的邻域$U$，以及连续映射$H: U \times [0,1] \to X$，满足三个条件：

1. 对所有$x \in U$，$H(x,0)=x$（初始时刻是恒等映射）；
2. 对所有$x \in U$，$H(x,1) \in A$（最终时刻把$U$中所有点映射到$A$）；
3. 对所有$a \in A$和$t \in [0,1]$，$H(a,t)=a$（收缩过程中$A$里的点保持不动）。

关于你提出的例子：$(A,I)$，其中$A = {0,1,1/2,1/3,...}$ #

你的判断完全正确，这确实是一个“不良对”！咱们来简单验证一下为什么：
假设存在符合要求的邻域$U$和形变收缩$H$，那么点$0 \in A$的某个邻域必然包含在$U$里。但$0$是$A$的聚点，它的任何邻域都会包含无穷多个形如$1/n$的点。
考虑一列点$x_k$，满足$1/(k+1) < x_k < 1/k$且$x_k \to 0$，这些$x_k$都在$U$中。根据收缩映射的要求，$H(x_k,1)$必须是$A$中的点，要么是$1/k$、$1/(k+1)$，要么是$0$。但无论怎么选，序列$H(x_k,1)$都无法收敛到$H(0,1)=0$（因为它会在不同的$1/n$之间跳跃），这就违反了$H$的连续性。所以这个对确实没法成为“好对”。

其他经典的不良对例子 #

• 夏威夷耳环与公共交点：设$X$是夏威夷耳环，即平面上所有以$(1/n, 0)$为圆心、半径$1/n$的圆的并集，$A$是所有圆的公共交点$(0,0)$。任何包含$(0,0)$的邻域都会包含无穷多个圆的弧段，而连续的形变收缩无法同时处理这些无穷多的“分支”，因此$(A,X)$是不良对。
• 带无穷多小圆周的圆盘与圆心+小圆周：设$X$是单位圆盘$D^{2$，$A$是所有满足$x}2+y^2=1/n2$（$n≥1$）的圆周加上原点$(0,0)$。和你提的例子类似，原点的邻域包含无穷多小圆周，无法构造连续的邻域形变收缩把邻域内的点映射到$A$，因此这也是一个不良对。
• 拓扑学家的正弦曲线与竖线段：设$X$是拓扑学家的正弦曲线，即${(x, \sin(1/x)) | 0 < x ≤ 1} \cup {(0,y) | -1 ≤ y ≤ 1}$，$A$是右侧的竖线段${(0,y) | -1 ≤ y ≤ 1}$。任何包含$A$的邻域都会包含正弦曲线靠近$0$的无穷振荡部分，连续映射无法将这些振荡点收缩到$A$而保持连续性，因此这也是不良对。

总的来说，不良对通常出现在$A$包含聚点，且$X$在该聚点附近存在“无穷多精细结构”的场景，这种结构会导致无法构造满足连续性要求的邻域形变收缩。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user13121312