我的问题 #

给定五个点（任意五点确定一条圆锥曲线），如何仅用直尺和圆规构造出这条圆锥曲线的焦点？

我之前琢磨这个问题好久都没搞出来。按道理说，这事儿应该等价于解二次方程，理论上肯定能构造，但我就是摸不着具体的门路。真心不想用代数方法硬推，除非真的确认没有几何构造的路子了。

纯几何构造思路分享 #

我整理了一套不用复杂代数计算的构造步骤，全靠圆锥曲线的几何性质来推进：

• 先搞清楚曲线类型
  用直尺把点两两连起来，看看连线的交点位置：
  • 要是所有连线交点都在五个点的同一侧，那大概率是椭圆；
  • 要是有的交点在点集两边，那可能是双曲线；
  • 要是能找到一组平行弦，它们的中点连线是固定方向，那就是抛物线。
• 接着找对称轴
  针对椭圆/双曲线：
  1. 随便找两组平行弦，用圆规画垂直平分线的方法找出每组弦的中点，把中点连起来就是曲线的直径；
  2. 找到两条共轭直径后，构造垂直于直径的弦，利用共轭直径的性质，画出它们夹角的平分线，这就是对称轴。
     针对抛物线：
  3. 找一组平行弦，把它们的中点连起来，这条线的方向就是抛物线轴的方向；
  4. 作垂直于这个方向的弦，找到弦的中点，过中点作平行于轴方向的直线，这就是抛物线的对称轴。
• 最后构造焦点
  • 椭圆/双曲线：
    1. 用直尺和圆规在对称轴上找出曲线的顶点（就是对称轴和曲线的交点）；
    2. 椭圆的话，长半轴a、短半轴b和焦距c满足b² = a² - c²；双曲线则是b² = c² - a²；
    3. 椭圆：以长轴端点为圆心、a为半径画圆，再以短轴端点为圆心、c为半径画圆，两个圆的交点就是焦点；双曲线：以实轴端点为圆心、c为半径画圆，和对称轴的交点就是焦点。
  • 抛物线：
    1. 先找到抛物线的顶点和准线方向（准线垂直于对称轴）；
    2. 取抛物线上任意一点，作垂直于准线的线段，以这个点为圆心、线段长度为半径画圆，圆和对称轴的交点就是焦点——毕竟抛物线上的点到焦点和准线的距离相等嘛。

额外说明 #

这套思路全程靠几何性质推进，完全不用展开繁琐的代数计算。核心就是先通过直径、共轭直径确定对称轴和顶点，再用圆锥曲线的定义来定位焦点，应该能解决你的问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者עמית חי לרמן