Hey 👋，我来帮你搞定这个带约束的三维格路计数问题，先把你的思路理清楚，再指出其中的问题，最后给你正确的解法：

问题回顾 #

计算从 $(0, 1, 2)$ 到 $(5, 5, 5)$，**必须经过 $(3, 3, 3)$ 但不能经过 $(1, 2, 3)$**的最短格路数量

你的原始思路分析 #

你想用分阶段的思路来拆解问题，这个方向是完全对的，但中间的计算逻辑和数值有几处明显的问题，咱们一一说：

• 第一步算 $(0,1,2)\to(3,3,3)$ 的路径数得120，这个是对的！三维最短格路数就是多重组合数，这里x走3步、y走2步、z走1步，总6步，$\frac{6!}{3!2!1!}=120$，没问题。
• 第二步算 $(0,1,2)\to(1,2,3)$ 的路径数得6，也完全正确，x、y、z各走1步，总3步，$\frac{3!}{1!1!1!}=6$，没毛病。
• 第三步你想算不经过 $(1,2,3)$ 的路径数，这里逻辑错了：你直接用120减6得到114，这不对哦。正确的应该是用「总路径数减去经过禁点的路径数」，而经过禁点的路径数得是「从起点到禁点的路径数 × 禁点到中间点$(3,3,3)$的路径数」，不是直接减起点到禁点的数。
• 第四步算 $(3,3,3)\to(5,5,5)$ 的路径数得120，这个错啦，正确数值是90，咱们后面细说。
• 最后一步你把两个数加起来，这就完全错了，前后两段路径是独立的，应该用乘法，不是加法哦。

正确的解题步骤 #

咱们用容斥原理来一步步算，保证每一步都清晰：

1. 算起点到中间点$(3,3,3)$的总路径数
   总步数：x方向从0到3要走3步，y从1到3走2步，z从2到3走1步，总共6步。
   路径数：$\binom{6}{3,2,1} = \frac{6!}{3!2!1!} = 120$

2. 算起点到中间点中经过禁点$(1,2,3)$的路径数
   先算禁点到中间点的路径数：x从1到3走2步，y从2到3走1步，z从3到3走0步，总共3步。
   路径数：$\binom{3}{2,1,0} = \frac{3!}{2!1!0!} = 3$
   那经过禁点的总路径数就是「起点到禁点的6条」乘以「禁点到中间点的3条」，也就是$6×3=18$。

3. 算起点到中间点中不经过禁点的路径数
   用总路径数减去经过禁点的数：$120 - 18 = 102$

4. 算中间点到终点$(5,5,5)$的路径数
   总步数：x从3到5走2步，y从3到5走2步，z从3到5走2步，总共6步。
   路径数：$\binom{6}{2,2,2} = \frac{6!}{2!2!2!} = 90$

5. 算最终符合要求的总路径数
   因为每一条「起点到中间点且不经过禁点」的路径，都能和任意一条「中间点到终点」的路径组合成一条完整的合法路径，所以总路径数是两者相乘：$102×90=9180$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emaan Baluj