我现在卡在一个拓扑学问题上：想证明将多边形$P$的某些边两两配对粘合后得到的商空间是一个CW复形。

已知可以直接使用一个结论：$P$同胚于二维圆盘$D^2$，且这个同胚把$P$所有边的并映射到$\partial D^2$。但我现在连这个商空间的严格定义式都不知道怎么写，更别说后续的证明了。

我自己先试着给出了边配对的解释，不知道是否准确，想先请教大家：

边两两配对的意思是：存在一个$P$的边的枚举$a_1, b_1, \dots, a_n, b_n$（不需要按循环顺序，也不重复），并且对每个$k=1,2,\dots,n$，存在一个同胚$\phi_k: a_k \to b_k$。我们要得到的商空间$S$就是把$P$中每个$x \in a_k \subset \partial P$和$\phi_k(x) \in b_k \subset \partial P$粘合在一起得到的空间。

如果这个解释有问题的话，麻烦大家帮我修正一下。

接下来我想利用Hatcher书上第521页的命题A.2来证明它是CW复形，但不知道具体怎么套用。先把这个命题列出来：

命题A.2：给定Hausdorff空间$X$和一族映射$\Phi_{\alpha}: D_{\alpha}^n \to X$，这些映射是$X$上某个CW复形结构的特征映射当且仅当满足以下条件：
$(i)$ 每个$\Phi_{\alpha}$在$D_{\alpha}^n$的内部是单射；
$(ii)$ 开胞腔$\Phi_{\alpha}(e_{\alpha}^n)$构成$X$的一个划分；
$(iii)$ 对每个胞腔$e_{\alpha}^n$，$\Phi_{\alpha}(\partial D_{\alpha}^n)$包含于有限个维数小于$n$的胞腔的并中；
$(iv)$ $X$的一个子集是闭集当且仅当它与每个胞腔的闭包的交是闭集。

有没有大佬能帮我梳理一下怎么用这个命题完成证明？万分感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emptymind