我最近在研究一类基于整数陪集构造的代数结构，先跟大家分享下背景：

假设我们取整数集$\Bbb{Z}$的一个子集$A$，要求$A$在取最大公约数（$\gcd$）操作下是封闭的；再取${-1,1}$的任意乘法子群$U$，考虑集合$\mathcal{M} = {a\Bbb{Z} + u : a \in A, u \in U}$。这个集合在通常的环乘法下构成一个元素wise幺半群，推导过程如下：

两个元素的乘积展开为：
$$
(a\Bbb{Z} + u)(b\Bbb{Z} + v) = ab\Bbb{Z}\Bbb{Z} + av\Bbb{Z} + bu\Bbb{Z} + uv
$$
由于整数环$\Bbb{Z}$对单位元有吸收性质，上面的表达式可以化简为：
$$
\gcd(a,b)\Bbb{Z} + uv
$$
这就是这个幺半群的运算规则。因为$\gcd$运算本身满足结合律，所以$\mathcal{M}$确实是一个幺半群，其中$0\Bbb{Z} + 1$是幺元。

基于这个构造，我有两个问题想请教：

问题1：这个交换幺半群的Grothendieck群是平凡的吗？ #

问题2：是否存在类似的非平凡构造？ #

具体来说，能不能通过对某些陪集子集做elementwise运算来得到一个群？要求这个例子不能是平凡的，得有研究价值。如果需要的话，可以把$U$扩展到$\Bbb{Z}$的任意子集来进行构造。

补充说明：我已经了解固定$a$，取$U = { u \in \Bbb{Z}: \gcd(u,a) = 1}$时的模算术群（也就是模$a$的单位群），所以不用再讨论这个例子啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者UniversalBasicIncomeSupporter8