嘿，我来帮你理清这个问题～

首先先解决你卡住的**$a=0$**的情况：
你已经推导到，当$a=0+0i$时，需要满足$e^x \cos y = 0$且$e^x \sin y = 0$。这里要注意两个关键点：

• $e^x$对于任意实数$x$都是正实数，永远不可能等于0；
• 对于任意实数$y$，都有$\cos^2 y + \sin^2 y = 1$，所以$\cos y$和$\sin y$不可能同时为0。

这就意味着，当$a=0$时，方程$e^z = a$没有解。

接下来我们完整梳理所有$a \in \mathbb{C}$的情况：

情况1：$a=0$ #

如上述分析，方程无解。

情况2：$a \neq 0$ #

我们可以把复数$a$写成极坐标形式：$a = |a| e^{i\theta}$，其中$|a|$是$a$的模（正实数），$\theta$是$a$的辐角（$\theta = \arg(a) + 2k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$，$\arg(a)$是$a$的主辐角，通常取$(-\pi, \pi]$）。

设$z = x + iy$（$x,y \in \mathbb{R}$），则$e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos y + i\sin y) = e^x e^{iy}$。

根据复数相等的条件（模相等，辐角相差$2\pi$的整数倍）：

• 模相等：$e^x = |a|$，两边取实对数得$x = \ln|a|$（因为$|a|>0$，实对数有定义）；
• 辐角匹配：$y = \theta + 2k\pi = \arg(a) + 2k\pi$，其中$k$是任意整数。

所以当$a \neq 0$时，方程的所有解为：
$$z = \ln|a| + i\left(\arg(a) + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}$$

换一种方式衔接你之前的推导：如果把$a$写成$a = \text{Re}(a) + i\text{Im}(a)$，那么从$e^x \cos y = \text{Re}(a)$和$e^x \sin y = \text{Im}(a)$，将两式平方相加可得$e^{2x}(\cos2 y + \sin^2 y) = |a|^2$，即$e{2x} = |a|^{2$，所以$e}x = |a|$（$e^x>0$），进而$x = \ln|a|$。再代入原方程就能得到$\cos y = \frac{\text{Re}(a)}{|a|}$，$\sin y = \frac{\text{Im}(a)}{|a|}$，这说明$y$就是$a$的辐角，且可以加上任意$2\pi$的整数倍，和极坐标方法的结论一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jimmy B