嘿，很高兴你已经搞定了可数序数ω₀的情况，那咱们来一步步拆解第一个不可数序数ω₁的这个等式证明思路～

首先得回忆一下序数加法的定义：序数α+β的本质，是把β的所有元素按原顺序放在α的所有元素之后，形成的新有序集合对应的序数。所以1+ω₁就是先放一个单独的元素（对应序数1的单点集），再把ω₁的所有元素（也就是所有可数序数）按原顺序接在后面。

要证明1+ω₁=ω₁，核心是要找到这两个序数之间的序同构——也就是存在一个严格保序的双射函数，因为两个序数相等当且仅当它们序同构。

具体的构造思路如下：

• 首先明确ω₁的性质：它是所有可数序数的集合，本身不可数，而且是最小的不可数序数（也就是说，任何比ω₁小的序数都是可数的）。
• 我们定义函数f: 1+ω₁ → ω₁：
  • 把1+ω₁里那个“初始单独元素”（可以记为₀₁）映射到ω₁里的最小元素0；
  • 对于每个属于ω₁的可数序数α，把1+ω₁里的α（也就是接在初始元素后面的那些元素）映射到α+1（α的后继序数）。
• 接下来验证这个函数是序同构：
  • 严格保序：如果在1+ω₁里x < y，分两种情况：
    • 若x是初始元素₀₁，y是某个α∈ω₁，那么f(x)=0 < α+1=f(y)，符合序关系；
    • 若x和y都是ω₁里的元素且x < y，那么x+1 < y+1（序数后继的保序性），所以f(x) < f(y)。
  • 双射：
    • 满射：对于任意β∈ω₁，若β=0，它是初始元素₀₁的像；若β>0，β可以写成α+1的形式（其中α=β-1，而β是可数序数，所以α也是可数序数，属于ω₁），因此β是α的像。
    • 单射：显然不同的输入对应不同的输出，不会有重复映射。

这里有个关键的点要注意：因为ω₁是最小的不可数序数，任何可数序数的后继α+1仍然是可数序数，所以α+1必然属于ω₁——这也是这个构造能成立的核心原因，和可数序数ω₀的情况逻辑一致，只是利用了ω₁对“可数序数的后继”封闭的性质。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathforest