嘿，这个问题问得特别到位，正好摸到了集合论作为现代数学基础的核心！咱们分两部分来唠清楚：

一、所有数学对象真的都能用集合表示吗？ #

在主流的ZFC公理化集合论框架下，答案是肯定的。ZFC是现代数学最常用的集合论公理系统，几乎所有你能想到的数学对象——从自然数、实数，到函数、拓扑空间、群环域这些代数结构——全都可以用集合一步步构建出来。

举个简单例子：自然数可以用冯·诺依曼序数来定义：

• 0 = ∅（空集）
• 1 = {∅}
• 2 = {∅, {∅}}
• 以此类推，每个自然数n都是所有小于n的自然数的集合

函数呢？虽然你提到函数是有序对的集合，但有序对本身也能转成集合（后面会说），所以函数最终还是可以拆解为集合的嵌套。甚至像拓扑空间这种看起来和集合不沾边的结构，也是用“集合+其上的开集族”来定义的，本质还是集合的组合。

当然要提一句：这是在标准公理化集合论的语境下，如果是一些非主流的数学框架（比如某些类型论体系），可能会有不同的设定，但在绝大多数数学研究里，用集合来表示所有对象是完全可行的。

二、有序对（及元组）怎么用纯集合表示？ #

你说见过用函数来表示，但函数又依赖有序对，这确实会陷入循环——所以咱们得先搞定有序对的纯集合定义，最经典的就是库拉托夫斯基（Kuratowski）的定义：

(a, b) = {{a}, {a, b}}

这个定义的妙处在于，它完美满足有序对的核心要求：如果(a, b) = (c, d)，那么必然有a = c且b = d。咱们可以简单验证一下：如果两个这样的集合相等，要么{a}={c}且{a,b}={c,d}，要么{a}={c,d}且{a,b}={c}，第二种情况推导下来会得到a=b=c=d，同样满足有序对的唯一性。

举个实际例子：(1, 2)对应的集合就是{{1}, {1, 2}}，而(2, 1)是{{2}, {2, 1}}，显然这两个集合不相等，完美体现了“有序”的特点。

至于元组，比如三元组(a, b, c)，咱们可以用嵌套的有序对来定义：((a, b), c)，再把里面的有序对换成上面的集合形式，就完全变成纯集合了。同理，n元组都可以通过这种嵌套有序对的方式，最终用集合来表示。

另外还有一种更早的维纳（Wiener）定义：(a, b) = {{{a}, ∅}, {{b}}}，不过库拉托夫斯基的定义更简洁，所以现在用得最多。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nathan Kaufmann