嘿，这个问题问得很关键，单变量和多变量凸函数的凸性逻辑确实有不少差异，我来给你一步步梳理清楚：

一、单变量$f(x)$与多变量$g(x,z)$在$x$方向上的凸性比较 #

首先得区分两种场景：

• 固定$z$的取值，仅比较$x$方向的凸性：如果你把$z$固定成某个具体值$z_0$，把$g(x,z_0)$看作只关于$x$的单变量函数，那这时候和$f(x)$的凸性比较完全可以直接对比$f_{xx}(x)$和$g_{xx}(x,z_0)$——毕竟此时两者都是一维函数，二阶导数的大小直接对应了$x$方向上的“弯曲程度”，数值越大，这个方向上的凸性就越强。
• 从整体函数维度比较凸性：如果是想把整个二元函数$g(x,z)$和单变量函数$f(x)$的凸性做整体对比，这其实没有直接的可比性。因为$f$是定义在一维实数空间$\mathbb{R}$上的凸函数，$g$是定义在二维空间$\mathbb{R}^2$上的凸函数，它们的凸性是基于各自维度的空间定义的，就像你没法直接比较一条曲线和一个曲面的整体弯曲程度一样，维度不同，衡量的基准完全不一样。

另外要提醒你：你提到$g(x,z)$的$g_{xx},g_{zz}>0$，但二元函数严格凸的充要条件是其Hessian矩阵正定，也就是除了两个二阶偏导为正，还需要满足$g_{xx}g_{zz} - (g_{xz})^2 > 0$（Hessian矩阵的行列式大于0），否则即使$x$和$z$各自方向是凸的，整体函数也可能不是凸函数。

二、多变量凸函数$g(x,z)$的凸性综合度量方法 #

单变量函数用二阶导数就能概括凸性，但多变量函数的凸性由Hessian矩阵来刻画，常用的综合度量指标有这些：

• Hessian矩阵的最小特征值（$\lambda_{min}$）：这个值代表函数在所有可能的方向上，二阶导数的最小值。它的大小直接反映了函数“整体最低的凸性程度”——只要$\lambda_{min}>0$，函数就是严格凸的，数值越大，说明在所有方向上的凸性下限越高，整体凸性越强。
• Hessian矩阵的最大特征值（$\lambda_{max}$）：对应函数在某个特定方向上的最大二阶导数，反映了函数凸性最强的那个方向的弯曲程度。
• Hessian矩阵的迹（Trace）：也就是$g_{xx} + g_{zz}$，它是所有特征值的和，可以看作是函数在各个方向上凸性的“平均水平”，但这个指标的直观性稍弱，没法体现不同方向凸性的差异。
• Hessian矩阵的条件数（$\lambda_{max}/\lambda_{min}$）：这个指标不是衡量凸性的强弱，而是衡量凸性的“均匀程度”——数值越接近1，说明函数在各个方向上的凸性越一致；数值越大，说明有的方向凸性很强，有的方向凸性很弱。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kwame Brown