我目前有两个关于递推序列 $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{nx_n}$（初始项 $x_1=\frac{1}{2}$）的问题需要解决：

• 第一，证明序列 $(x_n)_{n \geq 1}$ 是发散的；
• 第二，求序列 $\left( \frac{x_n}{\sqrt{2\ln(n)}} \right)_{n \geq 1}$ 的极限（如果存在的话）。

我已经完成的推导内容： #

1. 序列是单调递增的

计算相邻两项的差值：
$$x_{n+1} - x_n = \frac{1}{nx_n} > 0$$
由于所有 $x_n$ 都是正数（初始项为正，递推式也保证每一项均为正），所以差值恒大于0，说明序列单调递增。

2. 下界估计：$x_{n+1} \geq \frac{2}{\sqrt{n}}$

利用AM-GM不等式（算术均值不小于几何均值）推导：
$$x_{n+1} = x_n + \frac{1}{nx_n} \geq 2\sqrt{x_n \cdot \frac{1}{nx_n}} = \frac{2}{\sqrt{n}}$$

3. 上界估计：$x_{n+1} \leq \frac{1}{2} \left(H_{n}+1 \right)$

这里 $H_n$ 表示第n个调和数（即 $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$），推导过程如下：
$$ x_{n+1} = x_{n} + \frac{1}{nx_n} \leq x_{n} + \frac{1}{2n} $$
将这个不等式递推展开：
$$x_{n+1} \leq x_{n-1} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2(n-1)} \leq \dots \leq x_1 + \frac{1}{2}H_n$$
代入初始项 $x_1 = \frac{1}{2}$，即可得到：
$$x_{n+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}H_n = \frac{1}{2} \left( H_n + 1 \right)$$

4. 证明序列 $(x_n)_{n \geq 1}$ 发散

采用反证法：假设序列收敛到某个正实数 $l \in (0, \infty)$。

对之前得到的上界不等式进行变形：
$$ x_{n+1} \leq \frac{1}{2} \left( H_n + 1 \right) \Leftrightarrow x_{n+1} - \frac{1}{2} \ln(n) \leq \frac{1}{2} \left( H_n - \ln(n) + 1 \right)$$

当 $n \to \infty$ 时，若序列收敛到 $l$，则左边的 $x_{n+1}$ 趋近于 $l$，但 $\frac{1}{2}\ln(n)$ 趋向正无穷，因此左边整体趋向于 $-\infty$；而右边，我们知道调和数 $H_n$ 与 $\ln(n)$ 的差会收敛到欧拉-马歇罗尼常数$\gamma$（即 $\lim_{n\to\infty}(H_n - \ln(n))=\gamma$），所以右边会收敛到有限值 $\frac{1}{2}(\gamma + 1)$。

左边趋向负无穷，右边却收敛到有限常数，这显然矛盾，因此假设不成立，序列 $(x_n)_{n \geq 1}$ 是发散的。

编辑：感谢大家的评论，我现在已经明白怎么完成这个作业了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Colver