嘿，这个问题抓得特别准——Courant & Robbins的《What is Mathematics》里经常把一些需要细究的几何直觉直接当“显然”，我当初读Schwarz这段证明的时候也对这个假设存疑过。咱们一步步拆解：

一、最小周长内接三角形是否同时最小化所有“部分周长”？ #

答案是否定的，我们可以构造一个简单的反例：

取一个钝角等腰三角形ABC，其中∠A=170°（接近平角），AB=AC=10，BC≈19.92（由余弦定理计算可得）。对于这个原三角形，Schwarz的最小周长内接三角形是旁垂足三角形（因为原三角形是钝角，普通垂足三角形有一个顶点在外部，无法作为内接三角形），它的周长是所有内接三角形中最小的。但观察它的三边：靠近钝角顶点A的那条边会非常短，另外两条边则比较长。

现在考虑另一个内接三角形D'E'F'：让E'=C，F'=B，D'是BC的中点。这个三角形的周长≈9.96+9.96+19.92=39.84，远大于Schwarz三角形的周长，但它的部分周长D'E'+D'F'≈19.92，比Schwarz三角形中两条长边的和（≈20）更小。

换句话说，最小周长的内接三角形，只有**最长边对应的两边之和（周长减最长边）**是最小的，其他两边之和（周长减较短边）不一定是最小的——甚至可能比某些周长更大的三角形的对应部分周长要大。

二、如何刻画最小化“部分周长”的内接三角形？ #

假设我们要最小化的是内接三角形DEF的某一组两边之和（比如DE+EF，对应周长减FD），可以通过几何反射法推导极值条件：

1. 固定E点时，将D关于AC反射得到D₁，那么DE=D₁E，DE+EF=D₁E+EF≥D₁F，当且仅当E在D₁F与AC的交点时取等；
2. 再将D₁关于AB反射得到D₂，D₁F=D₂F，此时要最小化D₂F，最优解是让F为D₂到AB的垂足。

最终，非退化内接三角形（顶点在原三角形边的内部）的极值情况是：

• 要最小化某一组两边之和，等价于让第三边尽可能长，同时将这组边的两个顶点尽可能靠近原三角形的对应顶点。比如要最小化DE+EF，就让FD边尽可能接近原三角形的BC边长度，同时E、F分别靠近C、B点。

如果允许退化（顶点与原三角形顶点重合），最小的部分周长就是原三角形对应边的长度（比如DE+EF的最小值就是BC的长度，当E=C、F=B、D=C时），但这已经不是严格意义上的内接三角形了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者David