p型拟范数的连续性问题
嘿，这个问题我刚看到的时候也绕了点弯，不过理清楚逻辑后其实挺清晰的，我一步步给你拆解：
首先我们的目标是证明：满足正定性（||x||=0⇨x=0）、齐次性（||λx||=|λ|||x||），以及p次三角不等式（||x+y||ᵖ ≤ ||x||ᵖ+||y||ᵖ，p∈(0,1)）的拟范数||·||，在自身诱导的拓扑下是连续的（从E到带通常拓扑的ℝ）。
第一步：先推导出关键的辅助不等式
我们先从给定的p次三角不等式出发，做个变量替换：
把x换成a-b，y换成b，代入不等式得：||a||ᵖ ≤ ||a-b||ᵖ + ||b||ᵖ，移项后得到：
||a||ᵖ - ||b||ᵖ ≤ ||a-b||ᵖ
反过来，把a和b交换位置，同理可得：
||b||ᵖ - ||a||ᵖ ≤ ||b-a||ᵖ = ||a-b||ᵖ（这里用了齐次性：||-z||=||z||）
把这两个式子合起来，就得到了核心的估计：
$$| |a|^p - |b|^p | \leq |a - b|^p$$
第二步：证明p次幂后的拟范数是连续的
我们定义函数φ(x) = ||x||ᵖ，现在要证φ是连续的：
对任意x₀∈E，任意给定的η>0，我们取δ=η^(1/p)（因为p∈(0,1)，这个δ是正实数）。当||x - x₀|| < δ时，根据上面的辅助不等式：
$$|φ(x) - φ(x₀)| = | |x|^p - |x₀|^p | \leq |x - x₀|^p < δ^p = η$$
这完全符合函数连续的定义，所以φ(x)=||x||ᵖ是连续的。
第三步：利用复合函数的连续性得到原拟范数的连续性
我们知道，幂函数f(u)=u^(1/p)在u≥0的区间上是连续的（这是基本的实分析结论，幂函数在定义域内连续）。而原拟范数||x||可以写成f(φ(x))，也就是连续函数φ和f的复合。
根据连续函数的性质：两个连续函数的复合仍然是连续函数，所以||·||=f(φ(x))必然是连续的。
对你提到的L^p例子的补充
你之前试了p∈(0,1)的Lp拟范数||f||_p=(∫|f|p)^(1/p)，其实这个例子完全符合我们的推导：
- 它满足正定性、齐次性，以及p次三角不等式（这是L^p空间的基本性质，当p∈(0,1)时三角不等式是p次形式的）
- 按照我们的步骤，先证φ(f)=||f||_pp=∫|f|p是连续的，再结合f(u)=u^(1/p)的连续性，就能直接得出||f||_p是连续的。
最后补充个小知识点：虽然p∈(0,1)时的拟范数诱导的拓扑不是局部凸的（这是和普通范数的核心区别），但拟范数本身的连续性是不受影响的，这也是很多人容易混淆的点。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emmanuel Moreno Mejía
