嘿，我来帮你搞定这个不用洛必达法则求极限的问题！咱们一步步来，用你允许的工具——序列极限规则、夹逼定理和$e^x$的级数展开就行～

首先，先回忆双曲正弦函数的定义：$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$，这是基础公式，不用依赖洛必达法则。我们可以把原式拆成三个分式的和，利用极限的加法法则（只要每个分项的极限都存在，总和的极限就等于各分项极限之和）：

$$\lim_{x\to\infty} \left( \frac{\sinh(x)}{e^x} + \frac{x}{e^x} + \frac{x \ln(x)}{e^x} \right)$$

接下来咱们逐个计算每个分项的极限：

1. 计算$\frac{\sinh(x)}{e^x}$的极限 #

把$\sinh(x)$的定义代入进去：
$$\frac{\sinh(x)}{e^x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2ex} = \frac{1}{2} - \frac{e^{-2x}}{2}$$
当$x\to\infty$时，$e^{-2x} = \frac{1}{e^{{2x}}$会趋向于0（毕竟指数函数$e}{2x}$随着x增大疯长到无穷大），所以这个分项的极限就是$\frac{1}{2}$。

2. 计算$\frac{x}{e^x}$的极限 #

这里咱们用$e^{x$的级数展开：$e}x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$。当$x>0$时，级数里每一项都是正数，所以我们可以取后面的项来放缩，比如取第三项（$n=3$）：
$$e^x > \frac{x^3}{3!} = \frac{x^3}{6}$$
这样一来，当$x>0$时就有：
$$0 < \frac{x}{e^x} < \frac{x}{\frac{x^3}{6}} = \frac{6}{x^2}$$
当$x\to\infty$时，$\frac{6}{x^{2}$明显趋向于0，根据夹逼定理，$\frac{x}{e}x}$的极限就是0。

3. 计算$\frac{x \ln(x)}{e^x}$的极限 #

同样用$e^{x$的级数展开来放缩，还是用$e}x > \frac{x^3}{6}$，所以：
$$0 < \frac{x \ln(x)}{e^x} < \frac{x \ln(x)}{\frac{x^3}{6}} = \frac{6 \ln(x)}{x^2}$$
现在需要证明$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0$：
当$x>4$时，$\ln(x) < x^{{1/2}$（你可以验证下，比如函数$f(x)=x}{1/2}-\ln(x)$，当x>4时导数为正，且$f(4)=2-\ln4>0$，所以x足够大时根号x比lnx大），因此：
$$0 < \frac{\ln(x)}{x^2} < \frac{x^{1/2}}{x2} = \frac{1}{x^{3/2}}$$
当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x^{{3/2}}$趋向于0，再用夹逼定理，$\frac{\ln(x)}{x}2}$的极限是0，那$\frac{6 \ln(x)}{x^2}$的极限自然也是0，所以$\frac{x \ln(x)}{e^x}$的极限就是0。

最后把三个分项的极限加起来：$\frac{1}{2} + 0 + 0 = \frac{1}{2}$，所以原式的极限就是$\frac{1}{2}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者thejustin348