嗨，你的这个类比思路特别棒——其实射影几何里还真有和拓扑闭包完全呼应的“闭集”概念，而且射影闭包本质上就是拓扑意义下的“最小闭包”，咱们一步步拆解：

射影空间里的“闭集”：Zariski拓扑下的代数闭集 #

射影空间$\mathbb{P}^n(K)$里的代数闭集就是你要找的“闭集”：这些集合由一组齐次多项式的公共零点定义（你之前学的仿射子空间齐次化后得到的射影子空间，就是这类闭集的典型特例）。
和拓扑里的闭集公理完全匹配：

• 空集和整个射影空间都是闭集
• 任意多个闭集的交集仍是闭集
• 有限个闭集的并集仍是闭集
  这就构成了射影空间上的Zariski拓扑，是代数几何里最基础的拓扑结构之一。

射影闭包 = Zariski拓扑下的闭包 #

你接触的仿射空间到射影空间的嵌入（把仿射点$(x_1,...,x_n)$映射为射影点$(x_1:...:x_n:1)$），本质上是把仿射空间$K^{n$看成射影空间$\mathbb{P}}n(K)$去掉“无穷远超平面”（最后一个坐标为0的点构成的子空间）后的开子集。
对于仿射空间里的任意子集$S$：

1. 先把每个点$(x_1,...,x_n)\in S$映射为$(x_1:...:x_n:1)$，得到射影空间里的子集$S'$
2. $S$的射影闭包就是$S'$在Zariski拓扑下的闭包——也就是包含$S'$的最小代数闭集
   这完全对应你说的拓扑闭包算子的核心：找到包含原集合的最小闭集。

泛化定义：从线性到任意集合 #

你之前学的仅针对线性方程的射影闭包，只是这个泛化定义的特例：

• 仿射线性子空间对应的$S'$是仿射线性方程的零点集，它的Zariski闭包正好是这些方程齐次化后的齐次方程零点集，和你学的定义完全一致。
• 哪怕$S$是非线性的仿射集合（比如仿射平面里的抛物线$y=x^{2$），也可以用这个逻辑定义射影闭包：先把所有点映射为$(x:y:1)$得到$S'$，它的射影闭包就是齐次方程$yz=x}2$的零点集——这个射影曲线包含了原仿射抛物线，还加上了无穷远点$(1:0:0)$，正好补上了原仿射曲线在“无穷远”处的“边界点”。

额外的直觉呼应 #

拓扑里的闭包是把集合的“边界点”补全，射影闭包做的是一模一样的事：把仿射集合在无穷远处的“缺失点”补上，让它在Zariski拓扑下成为“闭集”，不再有“边界缺口”。比如仿射直线$y=1$的射影闭包是齐次方程$y=z$，除了原直线的所有点，还补上了无穷远点$(1:0:0)$，这样整个集合就成了射影空间里的闭集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amanda Wealth