嘿，咱们先把这个随机游走的定义掰扯清楚：你给出的$X_n = U_0 + U_1 + ... + U_n$，本质上和常规的一维随机游走是一回事——相当于初始状态$X_0 = U_0$，之后每一步$X_n = X_{n-1} + U_n$，每个$U_k$独立同分布，走+1的概率是$p$，走-1的概率是$1-p$。接下来咱们逐个解决你的疑问：

1. 询问这个随机游走的转移矩阵是否合理？ #

完全合理！不过要抓准核心：转移矩阵描述的是一步转移概率，也就是从任意状态$x$，经过一步（从时刻$k$到$k+1$）走到状态$y$的概率$p_{x,y} = P(X_{k+1}=y | X_k=x)$，这里的$k$是任意时刻，不是固定的某个$n$。你后面的困惑其实是把“某个固定时刻$n$的状态可达性”和“一步转移”的概念混在一起了，咱们慢慢说。

2. 当$n$是偶数（比如88）时，$p_{10,11}=P(X_{88}=11 | X_{87}=10)$是0还是无定义？ #

先看奇偶性的约束：每次走一步（加±1），状态的奇偶性一定会翻转。比如从$X_k$到$X_{k+1}$，奇偶性肯定变。那$X_{87}$的奇偶性和初始状态$X_0$相反（走了87次，奇数次翻转），$X_{88}$的奇偶性和$X_0$相同（88次偶数次翻转）。

现在看你说的情况：如果$X_{87}=10$（偶数），那说明$X_0$必须是奇数（因为奇数次翻转后变成偶数），这时候$X_{88}=X_{87}+U_{88}$，要么是11（概率$p$）要么是9（概率$1-p$），所以这个条件概率就是$p$啊！你之前觉得“$X_{88}$不能等于11，$X_{87}$不能等于10”，是默认了初始状态的奇偶性吧？比如如果$X_0$是偶数，那$X_{87}$必然是奇数，不可能等于10，这时候条件事件$X_{87}=10$是不可能发生的——在概率论里，这种情况下条件概率$P(X_{88}=11 | X_{87}=10)$是无定义的，但在马尔可夫链转移矩阵的标准定义里，我们只关注“可行的一步转移”：不管时刻是多少，从$x$只能走到$x+1$（概率$p$）和$x-1$（概率$1-p$），其他所有$p_{x,y}$都定义为0，不会纠结“某个时刻下条件事件不可能”的情况，因为转移矩阵描述的是通用的一步规则，不是特定时刻的状态约束。

3. 这个转移矩阵是否依赖$n$，也就是非齐次？ #

绝对不是！这个随机游走是齐次马尔可夫链，因为一步转移概率完全不依赖于时刻$k$。不管你是从$X_5$走到$X_6$，还是从$X_{87}$走到$X_{88}$，转移规则都是一样的：从$x$到$x+1$概率$p$，到$x-1$概率$1-p$，其他都是0。你觉得它依赖$n$，是把“某个时刻$n$能到达哪些状态”和“一步转移的概率”搞混了——某个时刻$n$的可达状态确实和初始状态、$n$的奇偶性有关，但一步转移的规则是固定不变的，和$n$没关系。

最后再总结下：

• 询问这个随机游走的转移矩阵完全合理，它属于齐次马尔可夫链的标准转移矩阵范畴。
• 作为通用一步转移概率的$p_{10,11}$值为$p$；若特指某一时刻的条件概率，当条件事件（如$X_{87}=10$）不可能发生时，该概率无定义，但转移矩阵中我们按通用一步规则统一定义概率，与时刻无关。
• 这个转移矩阵是齐次的，不依赖于$n$——因为一步转移的规则不会随时间时刻变化。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者romperextremeabuser