最近我在跟着Michael Penn的系列视频啃基础代数的底层逻辑——他从最朴素的集合论出发，一步步严格推导自然数加法和乘法的定义，刚刷完第二期讲乘法的内容。这过程中突然卡了个疑问：有没有那种非平凡的代数结构，里面有两个二元运算，各自都满足交换律和结合律，但这两个运算之间，完全不存在我们直觉里的“自然”分配律？

咱们先从熟悉的自然数反推：乘法对加法的分配律好像是顺理成章从递归定义里冒出来的，但如果跳出自然数的框架，其实有不少现成的例子。

• 格论中的非分配格：比如五角格（N5）或者钻石格（M3）就是典型。拿钻石格M3来说，它有5个元素：最小元0，最大元1，还有三个两两不可比的元素a、b、c。格的两个核心运算——交（∧）和并（∨），各自都满足交换律和结合律，但它们之间完全不满足分配律：

  • 交对并的分配：a∧(b∨c) = a∧1 = a，而(a∧b)∨(a∧c) = 0∨0 = 0，显然a≠0，分配律不成立；
  • 并对交的分配：a∨(b∧c) = a∨0 = a，而(a∨b)∧(a∨c) = 1∧1 = 1，同样a≠1，分配律也不成立。
    这就是个完美的非平凡结构，完全没有我们直觉里的“自然”分配律。

• 幂集上的对称差与交集：取一个至少有两个元素的集合X，它的幂集℘(X)上定义两个运算——对称差（Δ）和交集（∩）。这两个运算各自都满足交换律和结合律，但对称差对交集的分配律是不成立的：比如X={1,2}，A={1,2}，B={1}，C={2}，左边AΔ(B∩C)=AΔ∅=A={1,2}，右边(AΔB)∩(AΔC)={2}∩{1}=∅，两边完全不相等。虽然交集对对称差有分配律，但对称差对交集没有，这也符合“无自然分配律”的要求。

顺着从集合论构建自然数运算的思路往下想，我们默认了分配律是结构自带的属性，但其实代数世界里有很多反例，只要跳出自然数的舒适区，就能找到不少有意思的结构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emanuel Landeholm