我想在GeoGebra里构造这样一个图形：一个非正则的圆内接五边形 $ABCDE$，使得从$A$向$CD$作的垂线、从$B$向$DE$作的垂线……所有这些垂线都汇聚于同一点$H$。

我已经证明了，如果这样的点$H$存在，那么由$AC$、$BE$……这些线段中点构成的五边形是圆内接的。我的证明过程如下：

设$O$是五边形$ABCDE$的外心，$M$是线段$OH$的中点。由于在$\triangle ACD$中，射线$AH$和$AO$是等角共轭线，因此$MB_1=ME_1$（其中$B_1$和$E_1$分别是$AC$和$AD$的中点）。把这个结论推广到五边形的每个顶点，就能得出$M$是这些中点构成的五边形的外心。

后来我发现这个结论的逆命题也成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PNT