咱们先来聚焦这个函数方程：
$$ f(x) + f(y) = f\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) $$

你提到常规解法得到了$f(x)=C\arctan x$这个解，但你以为存在另一个解$f(x)=\log\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$——其实这个函数并不满足原方程，我举个例子验证一下：取$x=0.2$，$y=0.3$，左边$f(0.2)+f(0.3)=\log\left(\frac{0.8}{1.2}\right)+\log\left(\frac{0.7}{1.3}\right)=\log\left(\frac{0.56}{1.56}\right)\approx-1.023$；右边$f\left(\frac{0.2+0.3}{1-0.06}\right)=f\left(\frac{0.5}{0.94}\right)=\log\left(\frac{1-0.5319}{1+0.5319}\right)=\log\left(\frac{0.4681}{1.5319}\right)\approx-1.183$，两边明显不相等，所以这个函数其实不是原方程的解。

接下来咱们梳理你用的求导解法，以及为什么这个方法只得到了$\arctan$类的解：

常规可导函数的求解过程 #

1. 首先代入$x=y=0$，得到$f(0)+f(0)=f(0)$，所以$f(0)=0$，这一步没问题。
2. 假设$f(x)$是可导函数，对原方程两边关于$x$求偏导：
   $$ f'(x) = f'\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)·\frac{1+y^2}{(1-xy)2} \tag{i} $$
3. 再对原方程两边关于$y$求偏导：
   $$ f'(y) = f'\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)·\frac{1+x^2}{(1-xy)2} \tag{ii} $$
4. 用(i)除以(ii)（这里需要保证$f'\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\neq0$且$f'(y)\neq0$），得到：
   $$ \frac{f'(x)}{f'(y)} = \frac{1+y^2}{1+x2} $$
   整理后得到$f'(x)(1+x^2)=f'(y)(1+y2)$，因为$x$和$y$是独立变量（且$x\neq y$），所以这个等式两边必须等于某个常数$C$，即：
   $$ f'(x)(1+x^2)=C \implies f'(x)=\frac{C}{1+x^2} $$
5. 积分后得到$f(x)=C\arctan x + K$，结合$f(0)=0$，得$K=0$，所以$f(x)=C\arctan x$。

为什么这个方法没得到其他解？ #

这个解法的前提是假设$f(x)$是可导函数，如果我们放松这个条件，比如只要求$f(x)$连续，那根据柯西方程的推广，这个函数方程的解仍然是$f(x)=C\arctan x$（在定义域内连续的情况下）。

那有没有非连续的解？在不要求连续性的情况下，利用选择公理可以构造出满足方程的非线性解，但这类解是病态的，一般在数学分析的问题中，我们默认讨论连续（或可导）的解，这时候$f(x)=C\arctan x$就是全部的解了。

总结 #

• 你提到的对数函数并不满足原方程，可能是验证时出现了计算错误；
• 在可导（或连续）的前提下，$f(x)=C\arctan x$是原方程的唯一解；
• 如果不限制连续性，存在病态的非线性解，但这类解通常不在常规分析问题的讨论范围内。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sh0unak