抱歉：
我不懂数学脚本，所以表述可能有点笨拙，见谅。

问题说明（以子问题(c)为例简化讨论） #

题目给出如下递推数列：

• 初始条件：$a_1 = 1$
• 递推关系：对所有 $n \geq 1$，$a_{n+1} = \frac{2n + 1}{n+1} \cdot a_n$

要求：找到 $a_n$ 的显式通项公式，并通过数学归纳法验证其正确性。

我的推导与验证尝试 #

我先定义了命题 $P_n$ 来描述我假设的 $a_n$ 形式：

$P_n$：

• 当 $n = 1$ 时，$a_n = 1$；
• 当 $n > 1$ 时，$a_n = \frac{2n - 1}{n} \cdot a_{n-1}$。

注：这里我特意区分了两种"$a$"的定义：

• $a_m$：指通过题目给定的初始项或递推公式计算得到的项；
• $a_n$：指我假设的命题中定义的项。

归纳验证过程 #

1. 基础步骤（验证 $P_1$）
   题目给定 $a_1 = 1$，而我假设的 $P_1$ 中 $a_1$ 也等于1，两者完全一致，因此 $P_1$ 成立。

2. 归纳假设与递推验证
   假设 $P_n$ 成立，接下来分两种情况推导 $P_{n+1}$：

   • 情况1：$n = 1$
     根据我假设的公式，$a_2 = \frac{2\times2 -1}{2} \cdot a_1 = \frac{3}{2}$；
     根据题目给定的递推公式，$a_2 = \frac{2\times1 +1}{1+1} \cdot a_1 = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$；
     两者相等，说明 $P_1$ 可以推出 $P_2$。
   • 情况2：$n > 1$
     根据我假设的公式，$a_{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{n+1} \cdot a_n = \frac{2n+1}{n+1} \cdot a_n$；
     这和题目给出的 $a_{n+1}$ 的递推公式完全一致，因此 $P_n$ 可以推出 $P_{n+1}$。

我的结论 #

结合上面的两种情况，对所有 $n \geq 1$，$P_n$ 都能推出 $P_{n+1}$，因此 $P_n$ 对所有 $n \geq 1$ 成立。我得到的 $a_n$ 定义为：
$$
a_n =
\begin{cases}
1, & n = 1 \
\frac{2n - 1}{n} \cdot a_{n-1}, & n > 1
\end{cases}
$$

我的疑问 #

• 我的这个推导方法是正确的吗？
• 有没有更简单的解决思路？

补充说明（编辑1） #

后来我意识到自己的方法是错误的——我需要找的是 $a_n$ 的显式公式，也就是不依赖前一项、只和 $n$ 直接相关的表达式，而不是我之前给出的递推形式。之前我误以为把题目给的递推式转换为 $a_n = f(a_{n-1})$ 的形式就算完成了，感谢@coffeemath 帮我明确了“显式公式”的定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cinverse