大家好，我最近在研究分圆多项式$\Phi_n(x)$，它的定义是：
$$\Phi_n(x) = \prod_{0<k\leq n, \gcd(k,n)=1}(x-e^{\frac{2\pi i k}{n}})$$
观察下来，当代入$x=-1$时，似乎有这样的取值规律（我们只考虑$n>2$的情况）：
$$\Phi_n(-1) = \begin{cases} 2 \quad \text{if} \quad n = 2^k, k>1\in \mathbb{N}\
p \quad \text{if} \quad n = 2p\
1 \quad \text{otherwise}
\end{cases}$$
这里的$p$是大于2的素数。

我先验证了前几个例子，结果如下：

• $\Phi_3(-1) = 1$
• $\Phi_4(-1) = 2$
• $\Phi_5(-1) = 1$
• $\Phi_6(-1) = 3$
• $\Phi_7(-1) = 1$
• $\Phi_8(-1) = 2$

（注：$\Phi_1(-1)=-2$、$\Phi_2(-1)=0$这两个我们不纳入本次讨论的范围）

这个规律看起来挺意外的，毕竟分圆多项式的系数通常都挺复杂的，结果在$x=-1$处的取值居然这么简洁。我已经搞定了前两种情况的证明，下面分享一下：

情况1：$n=2^k$（$k>1$） #

利用莫比乌斯反演公式，分圆多项式可以表示为：
$$\Phi_n(x) = \prod_{d\mid n}(x^d-1){\mu\left(\frac{n}{d}\right)}$$
因为当$m>1$时，$\mu(2^{m)=0$，而$\mu(2)=-1$，所以对于$n=2}k$：
$$\Phi_{2^k}(x) = (x^{2k}-1)(x^{2{k-1}}-1)^{-1} = x^{2{k-1}}+1$$
代入$x=-1$，直接得到$\Phi_{2^k}(-1)=2$。

情况2：$n=2p$（$p$为奇素数） #

这里可以用分圆多项式的一个恒等式：
$$\Phi_{2p}(x) = \sum_{k=0}^{p-1}(-1)kx^k$$
当$x=-1$时，每一项$(-1)^k\times(-1)k=1$，所以求和就是$p$个1相加，结果就是$p$，也就是$\Phi_{2p}(-1)=p$。

但是到了其他情况——也就是$n$既不是2的幂次，也不是两倍奇素数的时候——我完全不知道该怎么入手。如果用莫比乌斯反演的话，需要分析$n$的所有约数，情况太泛了，很难找到统一的证明思路。另外我也没有办法用计算机验证很大的$n$，所以也不确定有没有反例存在。

想请各位大佬帮忙看看，能不能给出“其他情况$\Phi_n(-1)=1$”的证明，或者找到一个反例？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mako