嘿，我完全get到你的困惑点了——你大概率是把欧几里得空间里的绝对收敛结论直接默认到所有赋范空间里了，这是初学泛函分析很容易踩的小坑！

先帮你理清两个核心概念，避免混淆：

• 绝对收敛：指级数的范数构成的实数/复数级数 $\sum |x_n|$ 收敛（这是我们在微积分里就熟悉的数项级数收敛）
• 级数收敛：指级数的部分和序列 ${S_N = \sum_{n=1}^N x_n}$ 在赋范空间中存在极限，也就是这个部分和序列不仅是柯西序列，还能收敛到空间内的某个元素

你提到的“绝对收敛定理”，其实它的适用范围是完备的赋范空间（也就是巴拿赫空间），并不是所有赋范空间都天然具备这个性质。我们可以用一个具体例子来说明非完备空间的情况：
比如取所有多项式构成的赋范空间，范数定义为 $|f| = \max_{x\in[0,1]} |f(x)|$，这个空间是不完备的（因为根据魏尔斯特拉斯逼近定理，多项式可以逼近任意连续函数，但连续函数不全是多项式）。
现在构造级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2n}$，它的范数和是 $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = 2$，显然是绝对收敛的，但这个级数的和是 $\frac{1}{1-x}$，这并不是多项式，不在我们的多项式空间里——也就是说，这个级数在这个非完备空间里是不收敛的！

回到定理本身，它的双向逻辑是这样的：

• 正向（完备 ⇒ 绝对收敛级数必收敛）：如果空间完备，那么任何柯西序列都收敛。而绝对收敛的级数，其部分和序列一定是柯西序列（因为 $|S_N - S_M| \leq \sum_{n=M+1}^N |x_n|$，当N、M趋向无穷时，这个值趋近于0），完备性就保证了这个柯西序列能收敛到空间内的元素，也就是级数收敛。
• 反向（所有绝对收敛级数都收敛 ⇒ 空间完备）：任取空间里的一个柯西序列，我们可以从中构造出一个绝对收敛的级数，利用“级数收敛”的条件，就能推出这个柯西序列本身收敛，从而证明空间完备。

所以本质上，“所有绝对收敛级数都收敛”就是完备性的另一种等价表述，它恰好区分了完备和非完备的赋范空间——非完备空间里必然存在那种“范数和收敛，但级数本身在空间里找不到极限”的情况，这正是它们不完备的体现。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amanuel jissa