大家好，我正在自学陶哲轩的《分析I》第4版，现在想请各位帮忙验证一下我对习题3.4.2的解答是否正确。之所以来请教，一是我找到的至少两个习题解答网站给出了互相矛盾的答案，二是站内相关问题的回答也不够清晰，实在拿不准对错。

习题3.4.2内容 #

设 ( f:X \to Y ) 是从集合 ( X ) 到集合 ( Y ) 的函数，( S \subseteq X )，( U \subseteq Y )。
(i) 一般情况下，( f^{-1}( f (S)) ) 和 ( S ) 之间有什么关系？
(ii) ( f ( f^{-1}(U)) ) 和 ( U ) 之间呢？
(iii) ( f^{-1}( f ( f^{-1}(U))) ) 和 ( f^{−1}(U) ) 之间呢？

我的解答 #

(i) ( f^{-1}( f (S)) ) 和 ( S ) 的关系

因为 ( f ) 是从 ( X ) 到 ( Y ) 的函数，且 ( S \subseteq X )，所以 ( f(S) ) 是有定义的，且是 ( Y ) 的子集。

根据定义3.4.5，( f^{-1}(f(S)) ) 是 ( f(S) ) 的逆像，即：
$$f^{-1}(f(S)) = {x \in X: f(x) \in f(S)}$$

如果 ( x \in S )，那么显然 ( f(x) \in f(S) )，这意味着这样的 ( x ) 属于集合 ( {x \in X: f(x) \in f(S)} )，也就是 ( f^{-1}(f(S)) )。

所以可以得出结论：( S \subseteq f^{-1}( f (S)) )。

补充说明：我们不能得出 ( f^{-1}( f (S)) \subseteq S )，因此这两个集合不一定相等。

(ii) ( f ( f^{-1}(U)) ) 和 ( U ) 的关系

这个相对简单一些。根据定义3.4.5，( f^{-1}(U) ) 是 ( U ) 的逆像，即：
$$f^{-1}(U) = {x \in X: f(x) \in U}$$

也就是说，每一个 ( x \in f^{-1}(U) ) 在 ( f ) 作用下的像都属于 ( U )。那么对这个集合里的所有 ( x ) 应用 ( f )，得到的结果就是 ( U )，即：
$$f(f^{-1}(U)) = U$$

所以 ( f ( f^{-1}(U)) ) 和 ( U ) 是相等的。

(iii) ( f^{-1}( f ( f^{-1}(U))) ) 和 ( f^{−1}(U) ) 的关系

从(ii)我们已经知道 ( f(f^{-1}(U)) = U )，把这个代入左边的表达式，就得到：
$$f^{-1}( f ( f^{-1}(U))) = f^{-1}(U)$$

所以这两个集合是相等的。

请求 #

我是完全自学的，没有导师或者老师可以请教，所以如果大家能给出不那么晦涩的解答和验证，我会非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Penelope