我最近在思考一个分析问题，先明确已知的前提：我们已经知道，对于C¹类的单调函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，当它在 $x \to \infty$ 时存在极限，其导数不一定存在极限。不过我猜想这样的导数一定是有界的，但自己始终证不出来，希望能得到大家的帮助，或者找到推翻这个猜想的反例。

我目前的尝试（可能没什么参考价值，大家可以忽略）： #

不失一般性，假设 $f$ 是递增函数，因此 $f' \ge 0$。我们用反证法，假设 $f'$ 是无界的，那么必然存在一个序列 $x_n$，满足：
$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \infty \ \lim_{n \rightarrow \infty} f'(x_n) = \infty$$
（第一个极限成立的原因是：$f'$ 连续，因此在任意紧集上都是有界的，无界的点只能出现在无穷远处）。我们可以取这个序列的一个子列（仍记为 $x_n$），使得 $x_{n+1} - x_n \ge 1$。

因为 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时极限为 $L$，所以 $\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = L$。

根据拉格朗日中值定理，存在 $y_n \in (x_n, x_{n+1})$，使得：
$$0 \leq f(x_{n+1}) - f(x_n) = f'(y_n) (x_{n+1} - x_n) \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$$
由此可得 $\lim_{n \rightarrow \infty} f'(y_n) = 0$。我本来想尝试把 $f'(y_n)$ 和 $f'(x_n)$ 联系起来，但这个思路完全走不通……感觉自己的数学能力有点捉襟见肘😂

备注：内容来源于stack exchange，提问作者qp212223