嘿，这个问题问得特别好——我当初啃更新理论的时候也在这儿卡了好一会儿，咱们一步步拆解清楚：

首先得先把符号和定理的准确表述捋顺，可能你看书的时候对布莱克威尔定理的表述有点小误解：

• 设 $u_n = P(\text{在 } nd \text{ 时刻发生更新})$，这正是我们要求极限的量；
• 令 $N(nd)$ 表示到时刻 $nd$ 为止的总更新次数，那么它的期望 $\mathbb{E}[N(nd)] = \sum_{k=0}^n u_k$（因为每个 $kd$ 点发生更新的概率是 $u_k$，总次数是这些指示事件的和，期望就是概率的累加）。

布莱克威尔定理在格点更新过程中的准确结论是：当 $n\to\infty$ 时，$\mathbb{E}[N(nd)]$ 渐近等于 $\frac{nd}{\mu}$，也就是 $\mathbb{E}[N(nd)] = \frac{nd}{\mu} + o(n)$（简单说就是总更新次数的期望随 $n$ 线性增长，斜率为 $\frac{1}{\mu}$）。

现在要从这个和的渐近行为推出 $u_n$ 的极限，核心逻辑依赖于更新过程的平稳性以及更新方程的性质：

1. 先回忆格点更新过程的更新方程：$u_n = p_n + \sum_{k=0}^{n-1} u_k p_{n-k}$，其中 $p_n = P(X=nd)$（$X$ 是间隔时间）。这个方程的意思是：在 $nd$ 时刻更新，要么是第一次更新就恰好到 $nd$，要么是之前在 $kd$ 点有更新，然后接下来的间隔时间刚好是 $(n-k)d$。
2. 已知 $\sum_{k=0}^n u_k \sim \frac{nd}{\mu}$，也就是前 $n$ 项和的增长速度是线性的，斜率为 $\frac{d}{\mu}$。对于满足更新方程的非负数列来说，这种线性增长必然意味着数列的项本身会收敛到这个斜率值——你可以理解为，长期来看，更新过程会进入“平稳状态”，每个格点 $nd$ 发生更新的概率会稳定到一个常数，而这个常数正好对应单位时间内的平均更新率（$\frac{1}{\mu}$）乘以格点间隔 $d$，也就是 $\frac{d}{\mu}$。

换个更直观的角度想：布莱克威尔定理告诉我们，长期来看每 $d$ 时间单位内的平均更新次数是 $\frac{d}{\mu}$，而在格点过程中，更新只能发生在 $kd$ 这些点，长期来看每个格点发生更新的概率就等于这个平均次数。

另外，其实布莱克威尔定理和关键更新定理在格点情况下是等价的，关键更新定理直接给出了 $\lim_{n\to\infty} u_n = \frac{d}{\mu}$，而布莱克威尔定理的和的渐近性质可以直接推导这个结论——比如，我们可以用递推关系：$\mathbb{E}[N(nd)] - \mathbb{E}[N((n-1)d)] = u_n$，而布莱克威尔定理对于固定的间隔长度 $d$，这个差值的极限就是 $\frac{d}{\mu}$，所以直接就能得到 $u_n$ 的极限。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者abc