各位好，我最近在研究一个涉及正交向量、对称矩阵和2×2子式的不等式，通过数值实验发现这个不等式应该成立，但卡在了严格证明上，想请教大家有没有思路：

设 $x,y,z \in \mathbb{R}^n$（$n \geq 3$）是一组标准正交向量，$A,B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。我猜测以下不等式成立：
$$
\left|\sum_{i,j,k}A_{ik}B_{jk}\begin{vmatrix}x_i & x_k \ z_i & z_k \end{vmatrix}\begin{vmatrix}y_j & y_k \ z_j & z_k \end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_i & x_j \ y_i & y_j \end{vmatrix}\right| \leq \frac{1}{2} \sqrt{\sum_{i,k}A_{ik}^2\begin{vmatrix}x_i & x_k \ z_i & z_k \end{vmatrix}^2} \sqrt{\sum_{j,k}B_{jk}^2\begin{vmatrix}y_j & y_k \ z_j & z_k \end{vmatrix}^2},
$$
其中所有三重和、二重求和的指标都从1到$n$取值。

如果右边没有那个$\frac{1}{2}$的系数，证明其实很直接——用三角不等式和柯西-施瓦茨不等式就能搞定：
$$
\text{LHS} \leq \sum_{i,j,k}\left|A_{ik}B_{jk}\begin{vmatrix}x_i & x_k \ z_i & z_k \end{vmatrix} \begin{vmatrix}y_j & y_k \ z_j & z_k \end{vmatrix} x_i y_j\right| + \sum_{i,j,k}\left|A_{ik}B_{jk}\begin{vmatrix}x_i & x_k \ z_i & z_k \end{vmatrix} \begin{vmatrix}y_j & y_k \ z_j & z_k \end{vmatrix} x_j y_i\right| \
\leq \sqrt{\sum_{i,j,k}A_{ik}^2 \begin{vmatrix}x_i & x_k \ z_i & z_k \end{vmatrix}^2 y_j^{2}\sqrt{\sum_{i,j,k}B_{jk}}2 \begin{vmatrix}y_j & y_k \ z_j & z_k \end{vmatrix}^2 x_i^2} + \sqrt{\sum_{i,j,k}A_{ik}^2 \begin{vmatrix}x_i & x_k \ z_i & z_k \end{vmatrix}^2 x_j^{2}\sqrt{\sum_{i,j,k}B_{jk}}2 \begin{vmatrix}y_j & y_k \ z_j & z_k \end{vmatrix}^2 y_i^2} \
= 2\sqrt{\sum_{i,k}A_{ik}^2 \begin{vmatrix}x_i & x_k \ z_i & z_k \end{vmatrix}^{2}\sqrt{\sum_{j,k}B_{jk}}2 \begin{vmatrix}y_j & y_k \ z_j & z_k \end{vmatrix}^2},
$$
这里因为$x,y$是单位向量，三重和可以简化成二重和。但这个结果比目标不等式的右边大了4倍，说明这种粗糙的估计不行，得用更精细的方法，但我实在想不出该从哪里入手。

有没有大佬能给点提示？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者meler