咱们先拆解问题的核心条件：a、b、c是1到9之间的不同整数，小数a.b和c.b相加的结果是偶数整数。先从这个求和条件入手推导关键结论：

计算两个小数的和：a.b + c.b = (a + b/10) + (c + b/10) = (a+c) + b/5。因为结果是整数，a+c本身是整数，所以b/5必须是整数。在1-9的整数里，只有b=5满足这个要求，这是咱们后续分析的核心前提。

接下来，总和是偶数，也就是(a+c) + 1（因为b/5=1）是偶数，由此可得a+c+1 ≡ 0 mod 2，换句话说：a和c的奇偶性必然相反（一个是奇数，一个是偶数）。

现在逐个分析题目里的表达式：

• a+b+c：代入b=5后，式子变成a+c+5。因为a和c一奇一偶，它们的和是奇数；奇数加奇数（5是奇数）结果是偶数。所以这个表达式一定是偶数。
• (a+c)c：a+c是奇数（一奇一偶相加），奇数乘c的奇偶性完全由c的奇偶性决定——c是偶数则结果偶，c是奇数则结果奇。所以这个表达式无法确定奇偶性。
• ac+b：代入b=5后是ac+5。a和c一奇一偶，它们的乘积ac必然是偶数；偶数加奇数（5是奇数）结果是奇数。或者用模2运算验证：ac+5 ≡ (1+c)c +1 ≡ c² +c +1 ≡ c +c +1 ≡1 mod2，不管c是奇是偶，结果都是1（奇数）。所以这个表达式一定是奇数。
• (a+b)c：代入b=5后是(a+5)c。通过模2运算推导：a ≡1+c mod2，所以a+5 ≡1+c+1 ≡c mod2，也就是(a+5)和c的奇偶性相同，相乘后奇偶性和c一致。所以这个表达式的奇偶性由c决定，无法确定。
• abc：代入b=5后是5ac。5是奇数，ac是偶数（一奇一偶相乘），奇数乘偶数结果是偶数。用模2验证：5ac ≡ac ≡(1+c)c ≡c +c² ≡c +c ≡0 mod2，结果恒为0（偶数）。所以这个表达式一定是偶数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1270647