嘿，你的思路开头提取公因式的方向是对的，但其实换个代数分解的角度会更直接哦！我来帮你梳理一下正确的证明步骤：

• 第一步：换元简化表达式
  令$k = 2^{2{2n}}$，那么原式里的$2^{2{2n+1}}$可以变形为$2^{2 \times 2^{2n}} = (2^{2{2n}})^2 = k^2$，这样原式就简化成了：
  $$k^2 + k + 1$$

• 第二步：用立方差公式拆解
  我们都学过立方差公式：$k^3 - 1 = (k - 1)(k^2 + k + 1)$，把它变形一下就能得到：
  $$k^2 + k + 1 = \frac{k^3 - 1}{k - 1}$$
  这说明$k^2 + k + 1$是$k^3 - 1$的一个因数，而且因为n是非零自然数，$k = 2^{2{2n}}$肯定大于1，所以这个分式是个整数，不是分数。

• 第三步：证明这个数是3的倍数且大于3
  接下来我们用模运算看看它和3的关系：
  因为$2^2 = 4$，除以3余1，而$2^{{2n}$是偶数（n≥1），所以$2}{2^{2n}} = (2²⁾{2^{2n-1}}$，也就是1的任意次方，结果还是1，即$k \equiv 1 \pmod{3}$。
  把这个结果代入$k^2 + k + 1$：
  $$1^2 + 1 + 1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$$
  这就说明这个数能被3整除！再看最小的情况，当n=1时，原式等于$2^8 + 2^4 + 1 = 256 + 16 + 1 = 273$，273是3×91，明显大于3；n越大，这个数只会越大，所以它肯定是3的倍数且大于3，自然不可能是素数啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IONELA BUCIU