我自己改编了Sheldon Ross《概率论基础》第10版第2章第7题的一个组合概率问题，不确定自己的解法是否正确，想听听大家的看法。

问题描述 #

Vince的嘉年华小火车上载有16名乘客，第一站停靠站点1，最后一站停靠站点5，到达站点5后火车必须完全空驶。乘客可以在任意站点下车但不能上车，且每个人在任意站点下车的概率相等，乘客之间下车的选择相互独立。求恰好一半乘客在站点2之前（含站点2）下车的概率？

我的解法 #

步骤1：计算目标事件的可能结果数 #

首先定义$x_i$为在站点$i$下车的人数，其中$i \in {1,2,3,4,5}$。

• 先从16名乘客里选出8人，作为会在站点2及之前下车的群体，这一步有$\binom{16}{8}$种选法。
• 对于选出的这8人，他们可以选择在站点1或站点2下车，所有可能的分配方式总和为：
  $$\sum_{x_1+x_2=8}\binom{8}{x_1}\binom{8-x_1}{x_2} = \sum_{x_1+x_2=8}\frac{8!}{x_1!x_2!} = 2^8$$
  本质上这就相当于每个乘客有2种下车选择，总共有$2^8$种不同的分配情况。
• 剩下的8人需要在站点3、4、5这三个站点下车，所有可能的分配方式总和为：
  $$\sum_{x_3+x_4+x_5=8}\binom{8}{x_3}\binom{8-x_3}{x_4}\binom{8-x_3-x_4}{x_5} = \sum_{x_3+x_4+x_5=8}\frac{8!}{x_3!x_4!x_5!} = 3^8$$
  同理，这等于每个剩余乘客有3种下车选择，总共有$3^8$种分配情况。

把这些结果相乘，目标事件的总可能结果数就是：$\binom{16}{8} \times 2^8 \times 3^8$

步骤2：计算样本空间的总结果数 #

对于16名乘客来说，每个人都有5个站点可以选择下车，且选择相互独立，因此所有可能的下车情况总数为：
$$\sum_{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=16}\binom{16}{x_1}\binom{16-x_1}{x_2}\binom{16-x_1-x_2}{x_3}\binom{16-x_1-x_2-x_3}{x_4}\binom{16-x_1-x_2-x_3-x_4}{x_5} = \sum_{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=16}\frac{16!}{x_1!x_2!x_3!x_4!x_5!} = 5^{16}$$

步骤3：计算最终概率 #

将目标事件的可能结果数除以样本空间的总结果数，得到所求概率：
$$\frac{\binom{16}{8} \times 2^8 \times 3^8}{5{16}} \approx 0.1417$$

补充说明 #

根据评论的反馈，我补充了必要的假设条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Karl Chester Galapon