这是个非常有意思的问题，你的直觉其实已经踩中了关键——确实要从大λ的极限情况入手分析，而不是小λ（小λ只能得到低阶矩的信息，没法直接推导出有界性）。咱们一步步来拆解：

问题回顾 #

给定零均值随机变量$X$，其矩生成函数满足：
$$
\mathbb{E}[e^{\lambda X}] \leq \exp(c|\lambda|)
$$
其中$c>0$是常数。我们需要判断：$X$是否一定是几乎处处有界的？

结论：是的，$X$必然几乎处处有界 #

不仅如此，我们还可以证明$|X| \leq c$几乎处处成立，下面是具体的证明思路：

第一步：分析$\lambda>0$的情况

当$\lambda>0$时，原不等式可以改写为：
$$
\mathbb{E}[e^{\lambda X}] \leq e^{c\lambda}
$$
注意到$e^{{c\lambda}$其实就是常数$c$的矩生成函数值（因为$\mathbb{E}[e}{\lambda c}] = e^{c\lambda}$），因此我们可以把不等式整理为：
$$
\mathbb{E}[e^{\lambda(X - c)}] \leq 1
$$

现在考虑事件${X > c}$：在这个事件上，$X - c > 0$，所以当$\lambda \to +\infty$时，$e^{\lambda(X - c)}$会趋向于正无穷；而在${X \leq c}$的事件上，$X - c \leq 0$，因此$e^{\lambda(X - c)} \leq 1$。

假设$\mathbb{P}(X > c) > 0$，那么根据期望的定义，我们可以得到一个下界：
$$
\mathbb{E}[e^{\lambda(X - c)}] \geq \mathbb{E}\left[e^{\lambda(X - c)} \cdot \mathbf{1}_{{X > c}}\right] \geq e^{\lambda \delta} \cdot \mathbb{P}(X > c)
$$
这里$\delta$是某个正数（比如取$\delta = \inf{X - c \mid X > c}$，显然$\delta>0$）。当$\lambda$趋向于正无穷时，这个下界会趋向于正无穷，但我们知道左边的期望始终不超过1，这就产生了矛盾。因此$\mathbb{P}(X > c) = 0$。

第二步：分析$\lambda<0$的情况

令$\lambda = -t$（其中$t>0$），代入原不等式可得：
$$
\mathbb{E}[e^{-tX}] \leq e^{ct}
$$
也就是：
$$
\mathbb{E}[e^{t(-X)}] \leq e^{ct}
$$
用和第一步完全相同的逻辑，我们可以推出$\mathbb{P}(-X > c) = 0$，也就是$\mathbb{P}(X < -c) = 0$。

第三步：合并结论

结合上面两个结果，我们得到：
$$
\mathbb{P}(|X| \leq c) = 1
$$
这就说明$X$几乎处处有界，且绝对值不超过$c$。

补充：和亚高斯变量的区别 #

你提到的亚高斯变量确实是很好的对比——亚高斯变量的MGF被$\exp(c\lambda^{2)$控制，这种情况下，$\lambda}2$是平方增长，当$\lambda$很大时，右边的指数增长速度是平方级，而如果变量只是“温和地”无界（比如标准正态变量），其MGF的增长速度刚好能被平方指数压住；但咱们这个问题里的控制函数是$\exp(c|\lambda|)$，线性指数的增长速度远慢于无界变量MGF的指数增长速度，所以只要变量有任何正概率取到超过$c$的值，MGF就会“爆炸”，突破线性指数的限制。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rubikscube09