关于ℝⁿ中任意子集勒贝格内外测度是否相等的疑问及反例请求

阿华AIGC实验室

2026-4-20

关于ℝⁿ中任意子集勒贝格内外测度是否相等的疑问及反例解答

嘿，你提的这个问题正好触及了勒贝格测度的核心特性之一——并不是所有ℝⁿ的子集都满足内外测度相等，只有可测集才会有$m^(E)=m_(E)$这个等式。我给你举个最经典的反例，也就是维塔利集合（Vitali Set），它在ℝ¹里就能构造，也能轻松推广到高维空间。

维塔利集合的构造（以ℝ¹为例）

在区间$[0,1]$上定义等价关系：对于任意$x,y∈[0,1]$，当且仅当$x-y$是有理数时，记作$x\sim y$。这样整个$[0,1]$被划分为无数个互不相交的等价类，每个类内的元素两两差为有理数，不同类的元素差均为无理数。
根据选择公理，我们从每个等价类中挑选恰好一个代表元素，将这些元素收集起来组成的集合就是维塔利集合，记作$V$。

证明其内外测度不相等

1. 外测度$m^*(V) > 0$

取$[-1,1]$中的所有有理数，将它们排成可数序列$r_1,r_2,r_3,...$（有理数是可数集，因此可以做到）。考虑每个平移后的集合$V+r_i = {v+r_i \mid v∈V}$：

这些平移集合两两不交：假设$V+r_i$和$V+r_j$有公共元素，则存在$v_1,v_2∈V$使得$v_1+r_i = v_2+r_j$，即$v_1-v_2 = r_j - r_i$（有理数），这意味着$v_1$和$v_2$属于同一个等价类，但我们选代表元时每个类仅取一个元素，因此$v_1=v_2$、$r_i=r_j$，说明不同序列对应的集合不交。
这些集合的并集包含$[0,1]$：任取$x∈[0,1]$，$x$属于某个等价类，而$V$包含该类的代表元$v$，则$x-v$是有理数且属于$[-1,1]$，即$x∈V+r_i$。
这些集合的并集包含于$[-1,2]$：因为$V⊆[0,1]$，$r_i∈[-1,1]$，所以$V+r_i⊆[-1,2]$。

假设$m^{*(V)=t$，由勒贝格外测度的平移不变性，每个$m}(V+r_i)=t$。根据外测度的次可加性：
$$m^{*\left(\bigcup_{i=1}}∞ (V+r_i)\right) ≤ \sum_{i=1}^∞ m^(V+r_i) = \sum_{i=1}^∞ t$$
而左边的并集包含$[0,1]$，故$m^{*\left(\bigcup_{i=1}}∞ (V+r_i)\right)≥1$；同时该并集包含于$[-1,2]$，故$m^{*\left(\bigcup_{i=1}}∞ (V+r_i)\right)≤3$。这意味着$1≤\sum_{i=1}^∞ t≤3$，但$t=0$时$\sum t=0<1$（矛盾），$t>0$时$\sum t=∞>3$（矛盾），因此$V$不可测，且$m^*(V)>0$。

2. 内测度$m_*(V)=0$

我们需要证明：任何闭集$F⊆V$的测度都是0。假设$F$是闭集且$F⊆V$，则$F$中任意两个不同元素的差都不是有理数（因为$V$的元素来自不同等价类）。如果$m(F)>0$，根据勒贝格测度的性质，$F-F={x-y \mid x,y∈F}$会包含原点的一个邻域，即存在$\delta>0$，当$|r|<\delta$且$r$为有理数时，$r∈F-F$，这意味着存在$x,y∈F$使得$x-y=r$（有理数），与$F⊆V$矛盾。因此$m(F)=0$，进而$m_*(V)=\sup{m(F) \mid F⊆V, F\text{闭}}=0$。

综上，$m^(V)>0=m_(V)$，内外测度不相等，完全符合你要的反例。