嘿，这个问题咱们不用一个个试数，直接用整数带余除法和向下取整函数的核心性质就能严谨证明，思路很清晰：

首先，对于任意整数n，我们可以用带余除法把它写成：
n = 6k + r
其中k是整数，r是余数，取值范围是 r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}（这是整数除法的基本性质，所有整数都能拆成6的倍数加0到5之间的余数）。

接下来我们分情况计算⌊(n-3)/6⌋：
把n代入式子得：
(n-3)/6 = (6k + r - 3)/6 = k + (r-3)/6

根据向下取整函数⌊x⌋的定义：对于任意实数x，⌊x⌋是小于等于x的最大整数，我们分两种情况讨论：

• 当r ≥ 3时（也就是r=3、4、5）：(r-3)是0、1、2，所以(r-3)/6是0到1/3之间的非负数，这时候⌊k + (r-3)/6⌋ = k（因为k是整数，加上一个小于1的非负数，向下取整还是k）。
• 当r < 3时（也就是r=0、1、2）：(r-3)是-3、-2、-1，所以(r-3)/6是-0.5到-1/6之间的负数，这时候⌊k + (r-3)/6⌋ = k - 1（整数k加上一个大于-1的负数，向下取整会比k小1）。

现在计算差值D = n/6 - ⌊(n-3)/6⌋，分别代入两种情况：

1. r ≥ 3的情况：
   D = (6k + r)/6 - k = r/6
   r最大是5，所以D最大是5/6 ≈ 0.833，明显小于1⅓。
2. r < 3的情况：
   D = (6k + r)/6 - (k - 1) = (6k + r)/6 - k + 1 = r/6 + 1
   这里r最大取2，代入得：D = 2/6 + 1 = 1 + 1/3 = 1⅓，这就是我们要找的最大值。

再验证一下你提到的n=8+6i的情况：比如i=0时n=8，拆成61+2，属于r=2的情况，差值是8/6 - ⌊(8-3)/6⌋ = 4/3 - 0 = 1⅓；i=1时n=14=62+2，差值是14/6 - ⌊11/6⌋ = 7/3 -1 = 1⅓，完全符合推导结果。

而且我们能确定这个差值不会更大：因为r只能取0到5，其他r值对应的D要么是1（r=0）、1⅙（r=1），要么是≤5/6（r≥3），都比1⅓小。这样就严谨证明了最大值就是1⅓，不用枚举所有n～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kenneth Watanabe