嘿，这个问题不用暴力枚举也能解决，咱们可以通过转化为丢番图方程的思路来一步步分析：

首先，假设存在有理数( x )，使得( \sqrt{1+x^2}=y )、( \sqrt{9+x^2}=z )，其中( y )和( z )都是有理数。那我们可以得到两个基础方程：

• ( y^2 - x^2 = 1 )
• ( z^2 - x^2 = 9 )

把这两个方程相减，就能消掉( x^2 )，得到：( z^2 - y^2 = 8 )，也就是( (z - y)(z + y) = 8 )。

因为( z )和( y )都是有理数，我们可以把它们的差与和表示成乘积为8的两个有理数，比如设( z - y = \frac{2p}{q} )，( z + y = \frac{4q}{p} )（这里( p )、( q )是互质的整数，这样拆分是为了后续计算更顺畅）。解这个方程组就能得到：

• ( z = \frac{p^2 + 2q^2}{pq} )
• ( y = \frac{2q^2 - p^2}{pq} )

接下来把( y )代入( y^2 - x^2 = 1 )，可以推导出：
( x^2 = \left( \frac{2q^2 - p^2}{pq} \right)^2 - 1 = \frac{(p^2 - q^2)(p2 - 4q^2)}{p2q^2} )

要让( x )是有理数，分子( (p^2 - q^2)(p2 - 4q^2) )必须是完全平方数。我们可以进一步拆解这个条件：

• 因为( p )、( q )互质，( p^2 - q^2 )和( p^2 - 4q^2 )的最大公约数只能是1或3。
• 如果最大公约数是1，那么这两个式子都得是完全平方数，但推导后会发现不存在非零整数解；如果最大公约数是3，同样会导出矛盾的结果。

唯一能满足条件的情况是分子为0，也就是( p^2 = q^2 )或( p^2 = 4q^2 )，此时计算出来的( y = \pm1 )，对应的( x = 0 )——验证一下，( \sqrt{1+0}=1 )、( \sqrt{9+0}=3 )，确实都是有理数。

换句话说，唯一的有理解就是( x=0 )，没有其他非零的有理( x )能同时满足两个根号都是有理数的条件~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aleph0