咱们一步步来拆解这个问题，其实核心就是把你已经得到的两个三角函数方程，通过变量替换转化为代数问题求解，具体步骤如下：

步骤1：简化切线垂直条件的方程 #

首先看第二个方程，也就是切线向量与法向量n垂直的条件：
n·(V₁ sec t tan t + V₂ sec²t) = 0
因为sec t = 1/cos t永远不为0，咱们可以把方程两边同时除以sec t，简化成：
n·V₁ * tan t + n·V₂ * sec t = 0

为了更清晰，咱们令a = n·V₁，b = n·V₂，这个方程就变成了：
a tan t + b sec t = 0

步骤2：求解三角函数关系 #

把上面的方程移项整理：a tan t = -b sec t，这里如果a=0的话，会得到b sec t=0，但sec t不可能为0，所以此时必须b=0，这种情况咱们后面单独说。

先处理a≠0的情况，咱们把等式两边平方（注意：平方可能会引入增根，后面一定要验证）：
a² tan²t = b² sec²t
利用三角恒等式tan²t = sec²t - 1代入，整理后得到：
(a² - b²)sec²t = a²
由此可以解出：
sec²t = a²/(a² - b²)
这里要保证分母a² - b² ≠ 0，且右边为正，也就是a² > b²，否则没有实数解，说明不存在这样的相切平面。

从a tan t = -b sec t，咱们还能得到tan t = -b/a * sec t，这个关系后面代入求d会用到。

步骤3：代入求d的表达式 #

现在把sec t和tan t代入第一个求d的方程：
d = n·V₀ + n·V₁ sec t + n·V₂ tan t
替换成a和b，再代入tan t = -b/a sec t，整理一下：

d = n·V₀ + a sec t + b*(-b/a sec t)
= n·V₀ + sec t*(a - b²/a)
= n·V₀ + sec t*(a² - b²)/a

再把sec t = ±a/√(a² - b²)（从sec²t = a²/(a² - b²)开方得到，注意正负号）代入，最终可以得到：
d = n·V₀ ± √(a² - b²)
把a和b代回去，就是：
d = n·V₀ ± √[(n·V₁)² - (n·V₂)²]

步骤4：验证与特殊情况处理 #

• 增根验证：因为之前平方了方程，得到的d对应的t值要代回原切线垂直方程验证，确保真的满足a tan t + b sec t = 0，而不是平方后才成立的增根。
• 当a² = b²时：也就是(n·V₁)² = (n·V₂)²，这时候sec²t的分母为0，回到原方程a tan t + b sec t = 0，可以转化为a sin t + b = 0，结合a² = b²会得到sin t = ∓1，但此时sec t和tan t都无意义，说明这种情况下不存在符合要求的相切平面。
• 当a=0且b=0时：也就是n和V₁、V₂都垂直，此时n·H'(t)=0对所有t都成立，n·H(t)=n·V₀，对应的平面会和双曲线所有点相交，不符合“无其他交点”的要求，所以没有合格的d。

另外从几何角度看，d = n·V₀ ± √[(n·V₁)² - (n·V₂)²]其实是函数n·H(t)的最大值和最小值，当平面取这两个d值时，刚好和双曲线在极值点处相切，不会有其他交点，完美符合你的要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user948761