Hey there! Let's break down how to derive those $\mathbf{s}_r$（径向单位向量）和$\mathbf{s}_\alpha$（切向单位向量）从E坐标系分量出发的过程——这应该能解决你在动力学问题里的困惑。

首先先理清楚基础设定：**E坐标系（E-Frame）**是惯性参考系，通常用固定的正交单位向量$\mathbf{e}_x$（x轴）和$\mathbf{e}_y$（y轴）定义。而$\mathbf{s}_r$和$\mathbf{s}_\alpha$属于和伸缩杆/旋转圆绑定的转动坐标系，这个坐标系绕原点逆时针旋转，与E坐标系x轴的夹角为$\alpha$。

推导$\mathbf{s}_r$（径向单位向量） #

径向单位向量沿着杆的长度方向向外指向原点。要把它用E坐标系分量表示：

• 将$\mathbf{s}_r$投影到E坐标系的x轴：由夹角$\alpha$构成的直角三角形邻边，对应分量为$\cos\alpha$。
• 将$\mathbf{s}_r$投影到E坐标系的y轴：直角三角形的对边，对应分量为$\sin\alpha$。

组合起来就是：

$\mathbf{s}_r = \cos\alpha \, \mathbf{e}_x + \sin\alpha \, \mathbf{e}_y$

推导$\mathbf{s}_\alpha$（切向单位向量） #

切向单位向量与$\mathbf{s}_r$垂直，指向逆时针旋转方向。有两种简单的方法从E坐标系推导它：

方法1：对$\mathbf{s}_r$关于$\alpha$求导

因为径向单位向量逆时针旋转90°就得到切向方向，所以对$\mathbf{s}_r$关于旋转角$\alpha$求导，就能得到切向单位向量：

$\frac{d\mathbf{s}_r}{d\alpha} = -\sin\alpha \, \mathbf{e}_x + \cos\alpha \, \mathbf{e}_y = \mathbf{s}_\alpha$

方法2：直接投影法

切向方向相对于E坐标系x轴的夹角是$\alpha + 90^\circ$，利用三角函数的90°偏移恒等式：

• $\cos(\alpha + 90^\circ) = -\sin\alpha$
• $\sin(\alpha + 90^\circ) = \cos\alpha$

最终得到和求导法一致的结果：

$\mathbf{s}_\alpha = -\sin\alpha \, \mathbf{e}_x + \cos\alpha \, \mathbf{e}_y$

这一步对你应用输运定理的意义 #

把$\mathbf{s}_r$和$\mathbf{s}_\alpha$用E坐标系分量表示后，你可以轻松计算它们的时间导数（这是输运定理的关键）：

• $\dot{\mathbf{s}}_r = \dot{\alpha} \, \mathbf{s}_\alpha$（径向单位向量的变化率指向切向）
• $\dot{\mathbf{s}}_\alpha = -\dot{\alpha} \, \mathbf{s}_r$（切向单位向量的变化率指向径向内侧）

这些导数是将转动系中的速度/加速度转换到惯性E坐标系的核心，而这正是你正确应用输运定理所需要的步骤。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者awesomejack02