你提出的这个问题非常关键，很容易混淆普通函数的有界性和导数的有界性的区别。你对达布定理的理解和应用是完全正确的——那些像1/x一样有“跳跃”间断或者不满足介值性的函数，根本不可能是某个函数的导数，因为导数必须遵守达布定理的介值性要求。

但回到核心疑问：如果f'在闭区间[a,b]上处处有定义，那f'一定有界吗？答案是否定的，确实存在这样的“合法”导数（满足达布定理），但在闭区间上无界。

经典的反例：处处可导但导数无界的函数 #

最具代表性的例子就是这个构造巧妙的函数：

f(x) = 
  { x² sin(1/x²),  x ≠ 0
  { 0,             x = 0

我们来逐一拆解它的性质：

• 在[0,1]上处处可导：

  • 当x≠0时，用乘积法则和链式法则直接求导，得到：
    f’(x) = 2x sin(1/x²) - (2/x) cos(1/x²)
  • 当x=0时，用导数的定义计算极限：
    f’(0) = limₕ→₀ [f(h)-f(0)]/h = limₕ→₀ h sin(1/h²) = 0
    （因为h是无穷小量，而sin(1/h²)是有界的，无穷小乘有界量仍为无穷小）
    因此f'在闭区间[0,1]的每一点都有定义。

• f'在[0,1]上无界：
  观察x≠0时的导数表达式：当我们取序列xₙ = 1/√(2πn)（n为正整数），此时cos(1/xₙ²) = cos(2πn) = 1，代入得：
  f’(xₙ) = 2*(1/√(2πn))*sin(2πn) - (2/(1/√(2πn)))*1 = 0 - 2√(2πn)
  当n→∞时，xₙ趋近于0+，而f’(xₙ)会趋向于-∞；同理，取xₙ=1/√(π(2n+1))时，cos(1/xₙ²)=cos(π(2n+1))=-1，此时f’(xₙ)会趋向于+∞。这说明f'在[0,1]上可以取到任意大的正值和负值，完全无界。

• 这个导数满足达布定理：
  虽然它无界，但它本质上是某个函数的导数，因此天然满足达布定理的介值性。也就是说，对于任意两个点x₁,x₂∈[0,1]，以及介于f’(x₁)和f’(x₂)之间的任意值α，必然存在某个z∈(x₁,x₂)使得f’(z)=α。它的无界性并没有破坏介值性——只是它可以在区间内“穿梭”于任意大的正负值之间，始终符合达布定理的要求。

为什么你之前的1/x例子不成立？ #

你构造的1/x型“伪导数”之所以不合法，是因为它直接违反了达布定理的介值性，根本不可能是任何函数的导数。而上面的反例则是完全合法的导数：它满足介值性，同时又能在闭区间上无界。

总结 #

• 普通函数在闭区间上有定义≠有界（比如1/x在[0,1]上）；
• 导数的特殊性在于必须满足达布定理的介值性，这排除了很多“简单”的无界函数；
• 但确实存在处处有定义、满足介值性、但在闭区间上无界的导数，比如x² sin(1/x²)的导数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者S.C.