嘿，这个观察真的很巧妙！让我从几个贴近直觉的角度给你拆解一下这里面的内在联系：

首先先明确几个核心对象的基础关联：

• 我们知道黎曼ζ函数在负整数点的取值本来就和正伯努利数直接挂钩，标准关系式就是 $\zeta(-m) = -\frac{B_{m+1}^+}{m+1}$（当m为正整数时），你通过积分幂和得到的表达式，其实就是这个关系式的另一种展开形式，我们先从这里看一致性。

积分的直观意义：离散求和函数的负半轴“面积” #

幂和 $S_m(n) = 1^m + 2^m + ... +n^m$ 可以看作是一个离散阶梯函数的累加：当n是整数时，它是前n个正整数的m次幂之和；当n在两个整数之间时，它保持上一个整数点的取值不变。

当你对这个函数从-1到0积分时，相当于计算这个离散求和函数在负半轴靠近0的区间内的“面积”。这个区间的积分结果刚好对应ζ函数在负整数点的取值，背后其实和ζ函数的解析延拓以及伯努利数的本质作用有关。

生成函数视角：把所有对象串起来 #

伯努利数的核心生成函数是：
$$\frac{x}{e^x -1} = \sum_{k=0}^\infty B_k^+ \frac{x^k}{k!}$$
而幂和$S_m(n)$的生成函数可以表示为：
$$\sum_{m=0}^\infty S_m(n) \frac{x^m}{m!} = \frac{x e^{(n+1)x}}{ex -1} - \frac{x}{e^x -1}$$

当我们对这个生成函数关于n在[-1,0]区间积分时，积分操作和求和操作在解析延拓的前提下可以交换顺序，最终得到的结果恰好对应黎曼ζ函数在负整数点的生成表达式——这就把离散求和、积分、伯努利数、ζ函数完全串联起来了。

离散-连续修正的本质：欧拉-麦克劳林公式的体现 #

伯努利数的本质就是用来修正离散求和与连续积分之间的差异的，这也是欧拉-麦克劳林公式的核心：离散求和等于连续积分加上一系列由伯努利数构成的修正项。

你观察到的积分$\int_{-1}^{0} S_m(n) dn$，其实就是在特殊区间上计算这个“离散修正后的求和函数”的积分，刚好抵消了连续部分的积分结果，剩下的就是对应ζ函数负整数点的取值——这其实是欧拉-麦克劳林公式在[-1,0]这个特殊区间的直接应用结果。

表达式的一致性验证 #

你写出的积分表达式：
$$\int_{-1}^{0} S_m(n) dn = -\frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^{m} \frac{1}{m+2-k} \binom{m+1}{k} B_k^{+} (-1)^{m+2-k}$$

我们做一个变量替换：令$j = m+1 -k$（即$k = m+1-j$），代入后可以化简这个求和式，结合伯努利数的性质（大于1的奇数项伯努利数为0，$B_1^+ = 1/2$），最终这个求和式会简化为$-\frac{B_{m+1}^+}{m+1}$，也就是ζ(-m)的标准定义式——这也验证了你观察的正确性，同时体现了这些数学对象的内在一致性。

总结一下：这一切联系的核心，就是伯努利数作为离散-连续转换的修正项，和黎曼ζ函数解析延拓后负整数点取值的天然绑定，你观察到的积分结果等于ζ(-m)，正是这几个数学对象内在联系的自然体现。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nikolai riber skånström