嘿，我来梳理一下这个问题和对应的思路——虽然感觉这问题有点“傻”，但还是想确认清楚：假设$X$是域$k$（不一定代数闭）上的真几何整概型，是不是对$X$的所有开子集$U$，$k$都是$\mathcal{O}_X(U)$的子域？

我觉得答案是肯定的，具体推理如下：

• 首先，因为$X$是真概型，意味着它在$k$上满足有限型、分离且泛闭的条件；再结合它是几何整的，那么$X$实际上就是$k$上的真簇。
• 由此可以推出$H^0(X,\mathcal{O}_X)\cong \mathcal{O}_X(X)\cong k$。接下来我们验证限制映射$\theta^X_U:k\rightarrow \mathcal{O}_X(U)$是单射：
  • 我们只需要考虑$U$为仿射开集的情况即可（毕竟仿射开集构成了概型的拓扑基），设$U=\operatorname{Spec}A$。由于$X$在$k$上有限型，所以$A\cong k[x_1,\dots,x_n]/I$，这里的限制映射就是将$k$中的元素对应到$k[x_1,\dots,x_n]$里常多项式所在的等价类。
  • 这个映射必然是单射：如果$k$中某个元素$c$在该映射下映为0，那就说明$c\in I$。而$I$是$k[x_1,\dots,x_n]$的理想，若常数多项式$c$属于$I$，则整个理想$I$就等于环$k[x_1,\dots,x_n]$，这样$\mathcal{O}_X(U)=A={0}$，但这只有当$U$是空集时才成立，而我们讨论的是非空开集（空集的话这个问题本身就没有讨论价值）。

这个推理逻辑看起来是通顺合理的对吧？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chris