嗨，这个问题确实和电磁学里的波前设计、等光程面这类场景相关，我来一步步帮你梳理推导过程和结论：

首先先明确几何符号的定义，方便后续推导：

• 设两个焦点为F₁、F₂，它们之间的距离为a
• 取F₁为极坐标原点，F₁F₂所在直线为极轴（x轴），点P的极坐标为$(r,θ)$，也就是$|PF₁|=r$，$∠PF₁F₂=θ$
• 设$∠PF₂F₁=φ$，题目给出的核心条件是 $\cos \phi/\cos \theta =- k$（k是正实数，负号说明$\cosφ$和$\cosθ$符号相反，对应角度θ和φ处于不同的象限）

从△PF₁F₂的正弦定理，我们可以得到：
$$ \frac{|PF₁|}{\sinφ} = \frac{|PF₂|}{\sinθ} $$
而根据余弦定理，$|PF₂|$可以用r和θ表示为 $\sqrt{r^2+a2-2 ar \cos \theta}$，把它代入正弦定理的式子，变形后就能得到：
$$ \frac{r}{\sqrt{r^2+a2-2 ar \cos \theta}}=\frac{\sin \phi}{\sin \theta} $$

现在结合已知条件 $\cosφ = -k \cosθ$，利用三角恒等式 $\sinφ = \sqrt{1 - \cos^2φ}$（因为φ是三角形内角，sinφ为正），代入后就得到了你给出的中间关系式：
$$ \frac{r}{\sqrt{r^2+a2-2 ar \cos \theta}}=\frac{\sin \phi}{\sin \theta}= \frac{\sqrt{1-k^2 \cos^2 \theta}}{\sin \theta}$$

这个式子还不是显式的极坐标方程，我们可以把它整理成更直观的形式：

1. 首先两边消去分母的$\sinθ$（θ≠0、π，这两个是轨迹的退化点，没有实际几何意义），得到：
   $$ r \sinθ = \sqrt{(r^2+a2-2 ar \cos \theta)(1 - k^2 \cos^2 \theta)} $$
2. 为了去掉根号，将等式两边同时平方：
   $$ r^2 \sin^2θ = (r^2+a2-2 ar \cos \theta)(1 - k^2 \cos^2 \theta) $$
3. 利用$\sin^2θ = 1 - \cos^2θ$展开等式两边，再合并同类项，就能得到关于r和θ的显式极坐标方程；如果转换成直角坐标（x=r cosθ，y=r sinθ，r²=x²+y²），整理后会发现这个轨迹是笛卡尔卵形线——这也和你模糊记得的电磁学应用对应上了，笛卡尔卵形线常出现在透镜设计、电磁波反射/折射的波前分析中。

如果需要更简洁的表达式，还可以通过变量替换进一步化简，不过核心结论就是这个轨迹属于笛卡尔卵形线的一个特例。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Narasimham