嗨，我来帮你拆解这个推导过程，核心用到的是常微分方程里的比较原理（本质是Gronwall不等式的思路），咱们一步步来捋清楚：

首先看给定的微分不等式：
$$ \dot{y}(t) \leq -c\cdot y(t) + \lambda \ \ (1)$$
其中$c,\lambda > 0$，$\rho = \lambda/c$。

步骤1：构造积分因子变形不等式 #

我们先把不等式左边整理成“乘积导数”的形式，方便后续积分。给不等式两边同时乘以积分因子$e^{{ct}$（这个因子来自齐次方程$\dot{y}=-cy$的解的形式，积分因子是$e}{\int c dt}=e^{ct}$）：
$$
\dot{y}(t)e^{ct} + c\cdot y(t)e^{ct} \leq \lambda e^{ct}
$$
左边刚好是$\frac{d}{dt}\left(y(t)e^{ct}\right)$的展开式，所以不等式可以改写为：
$$
\frac{d}{dt}\left(y(t)e^{ct}\right) \leq \lambda e^{ct}
$$

步骤2：对两边从0到t积分 #

接下来我们对不等式两边在区间$[0,t]$上积分：
$$
\int_{0}^{t} \frac{d}{ds}\left(y(s)e^{cs}\right) ds \leq \int_{0}^{t} \lambda e^{cs} ds
$$

• 左边积分的结果很直接，就是原函数在上下限的差值：$y(t)e^{ct} - y(0)e^{0} = y(t)e^{ct} - y(0)$
• 右边计算定积分：$\int_{0}^{t} \lambda e^{cs} ds = \lambda \cdot \frac{e^{ct} - 1}{c}$

步骤3：整理得到目标不等式 #

把积分结果代入后，我们得到：
$$
y(t)e^{ct} \leq y(0) + \frac{\lambda}{c}\left(e^{ct} - 1\right)
$$
代入$\rho = \lambda/c$，替换后：
$$
y(t)e^{ct} \leq y(0) + \rho\left(e^{ct} - 1\right)
$$
最后给两边同时除以$e^{ct}$，就得到了：
$$
y(t) \leq \rho + y(0)\cdot e^{-c\cdot t} - \rho\cdot e^{-c\cdot t} \ \ (2)
$$

额外补充：和微分方程解的关联 #

你提到对应的微分方程$\dot{y}(t) = -c\cdot y(t) + \lambda$的解是$y(t) = y(0)\cdot e^{-c\cdot t} + \rho$，其实这个解可以看成是齐次解+稳态特解。而我们推导的不等式本质是比较原理的体现：当两个函数初始值相同，其中一个的导数始终不大于另一个（满足微分不等式），那么这个函数在所有$t\geq0$时都不会超过另一个函数——也就是满足不等式(1)的$y(t)$，始终不会超过对应微分方程的解。

你提到$y(t)$是正定函数，这个条件保证了$y(t)$始终为正，让推导结果里的各项都是正的，逻辑上更自洽，但在整个推导过程中其实没用到这个条件~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Teo Protoulis