证明：若 $a,b,c \geq 1$，则
$$\frac{3ab+2c+1}{a+b}+\frac{3bc+2a+1}{b+c}+\frac{3ca+2b+1}{c+a} \geq 9$$

我最近被这个三元分式不等式的证明难住了，试了几个思路都没走通，想请大家帮忙看看！

• 一开始我想着用*均值不等式（AM-GM）*来尝试，但验证等号成立的情况（应该是$a=b=c=1$的时候）时，发现没法直接用均值不等式凑出右边的9，这条路好像走不通。
• 后来又考虑了伯努利不等式或者柯西-施瓦茨不等式（CBS），试着把左边的每一项拆成不同的形式，比如把每一项拆成$\frac{3ab}{a+b} + \frac{2c+1}{a+b}$，想分开处理这两部分，但拆完之后还是不知道怎么把它们组合起来得到下界9。

这类分式不等式的证明我总是卡壳，真心希望能得到大家的指点，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IONELA BUCIU