Hey there! 看到你作为电气工程师在推导反馈网络相关的递推序列通项公式时遇到了瓶颈，我来帮你一步步梳理清楚~

首先回顾你的问题：原递推式为
$$A_n=A_{n-1}+k\sum_{j=0}^{n-1}(D-A_j)$$
其中$k$和$D$是常数。你尝试了换元$B_n:=D−A_n$，得到了$B_n=B_{n−1}−k\sum_{j=0}^{n-1}B_j$，这个换元方向完全正确，接下来我们只需要用差分消去求和项这个常用技巧就能推进了。

步骤1：消去求和项，转化为二阶线性递推 #

先写出$n$和$n-1$对应的$B$序列递推式：

1. 当$n \geq 1$时：$$B_n = B_{n-1} - k\sum_{j=0}^{n-1}B_j$$
2. 当$n \geq 2$时：$$B_{n-1} = B_{n-2} - k\sum_{j=0}^{n-2}B_j$$

用第一个式子减去第二个式子，右边的求和项差为$B_{n-1}$，整理后得到：
$$B_n - B_{n-1} = B_{n-1} - B_{n-2} - kB_{n-1}$$
进一步化简为二阶线性齐次递推关系：
$$B_n = (2 - k)B_{n-1} - B_{n-2}$$

步骤2：用特征方程法求解$B_n$的通项 #

上述递推的特征方程为：
$$r^2 - (2 - k)r + 1 = 0$$
计算判别式$\Delta=(2-k)^2-4=k2-4k$，接下来分三种情况讨论：

情况1：$\Delta>0$（即$k>4$或$k<0$）

特征根为两个不同的实根：
$$r_1=\frac{(2-k)+\sqrt{k^2-4k}}{2}, \quad r_2=\frac{(2-k)-\sqrt{k^2-4k}}{2}$$
此时$B_n$的通项为：
$$B_n = C_1r_1^n + C_2r_2^n$$
其中$C_1$、$C_2$为待确定的常数。

情况2：$\Delta=0$（即$k=0$或$k=4$）

• 当$k=0$时，原递推式退化为$B_n=B_{n-1}$，即$B_n=B_0$（常数序列）；
• 当$k=4$时，特征根为二重根$r=-1$，通项为：
  $$B_n=(C_1+C_2n)(-1)^n$$

情况3：$\Delta<0$（即$0<k<4$）

特征根为一对共轭复根，可转化为三角形式：
$$r=1-\frac{k}{2}\pm i\sqrt{k-\frac{k^2}{4}}=\cos\theta\pm i\sin\theta$$
其中$\theta=\arctan\left(\frac{\sqrt{k(4-k)}}{2-k}\right)$，此时$B_n$的通项可表示为：
$$B_n=C_1\cos(n\theta)+C_2\sin(n\theta)$$

步骤3：利用初始条件确定常数 #

我们需要两个初始条件来确定$C_1$和$C_2$：

• 已知$A_0$，则$B_0=D-A_0$；
• 代入$n=1$到$B_n$的递推式，得$B_1=B_0 - kB_0=(1-k)B_0$。

以$0<k<4$的情况为例：

• $n=0$时，$B_0=C_1$，即$C_1=D-A_0$；
• $n=1$时，$B_1=C_1\cos\theta+C_2\sin\theta$，代入$B_1=(1-k)B_0$可解得$C_2=-B_0\sqrt{\frac{k}{4-k}}$。

步骤4：还原得到$A_n$的通项 #

最后将$B_n$代回$A_n=D-B_n$，即可得到原序列的通项公式。比如$0<k<4$时：
$$A_n=D - (D-A_0)\left[\cos(n\theta)-\sqrt{\frac{k}{4-k}}\sin(n\theta)\right]$$

验证小例子 #

当$k=0$时，$A_n=A_{n-1}$，符合常数序列；当$k=4$时，代入初始条件可推导出$B_n=(1+2n)(-1)^nB_0$，还原后也完全符合原递推式。

希望这个推导过程能帮你解决问题，要是还有细节疑问随时提出来~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者spices