嘿，我来帮你梳理这个问题！先解决核心需求——证明零函数在全体实数ℝ上可微，且不用计算极限：

首先回忆可微的等价定义：若函数$f(x)$在点$a∈ℝ$处可微，当且仅当存在常数$L$，使得当$x→a$时，满足：

$f(x) - f(a) = L(x - a) + o(x - a)$
这里的$o(x - a)$表示比$x - a$高阶的无穷小，我们不用直接计算这个极限，只需要验证等式成立即可。

对于零函数$f(x)=0$（对所有$x∈ℝ$），任取一点$a∈ℝ$，$f(x)-f(a)=0-0=0$。我们直接取$L=0$，代入上面的式子：
$0 = 0*(x - a) + o(x - a)$
显然这个等式成立，因为左边是0，右边的$0*(x - a)$是0，加上高阶无穷小后依然满足$x→a$时的关系。这就说明$f(x)$在$a$点可微，且导数为0。由于$a$是ℝ上的任意一点，所以零函数在全体实数上可微。

再来说你补充的疑问：能不能用延拓函数$g(x)$消除$0/0$的不确定性？

其实对于零函数本身，根本不存在$0/0$的问题——因为对于任意$x≠a$，差商$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{0-0}{x-a}=0$，恒为常数0，完全没有不确定性。

不过如果是类比其他存在$0/0$型极限的函数，延拓函数确实是常用技巧，但在零函数这个特例里，延拓就有点画蛇添足啦。硬要套延拓思路的话，比如定义$g(x)=0*x$，这个函数在ℝ上处处等于0，和零函数完全一致，它的差商也始终是0，自然不存在任何不确定性。但说实话，直接用前面的可微等价定义，已经能更简洁地完成证明了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kaan