嘿，这个问题我之前也碰到过，逐个构造确实费时间还容易漏算，其实用树的核心性质先缩小范围，再分类讨论每种合法度序列对应的非同构树数量，会高效很多。

首先先回忆树的两个关键性质：

• 拥有n个节点的树，边数固定为n-1，这里n=10，所以边数是9。
• 握手定理：所有节点的度数之和等于2×边数，也就是18。

接下来我们设变量：

• 度为5的节点数：x
• 度为2的节点数：y
• 度为1的节点数：z

根据性质列出两个方程：

1. 节点总数：x + y + z = 10
2. 度数总和：5x + 2y + z = 18

用第二个方程减去第一个，得到简化后的关系式：4x + y = 8。我们只需要找这个式子的非负整数解（x、y都不能为负），能得到三组合法解：

• x=0，y=8，z=2
• x=1，y=4，z=5
• x=2，y=0，z=8

接下来针对每组解，计算对应的非同构树数量：

情况1：x=2，y=0，z=8 #

这里有两个度为5的中心节点，8个叶子节点。因为是树，两个中心必须直接相连（没有度2节点作为中间节点），每个中心剩下的4条边都连接叶子。所有叶子都是对称的，所以这种结构只有1种。

情况2：x=1，y=4，z=5 #

这里有一个度为5的中心节点，4个度2节点，5个叶子节点。中心节点有5个分支，每个分支都是一条以叶子为末端的路径，我们需要把4个度2节点分配到这5个分支中，本质是把4拆分成5个非负整数的和，不同的拆分对应不同的非同构树：

• 拆分[4,0,0,0,0]：一个分支包含4个度2节点（形成一条长度为5的链：中心→度2→度2→度2→度2→叶子），其余4个分支直接连叶子 → 1种结构
• 拆分[3,1,0,0,0]：一个分支有3个度2节点，一个分支有1个度2节点，其余3个分支直接连叶子 → 1种结构
• 拆分[2,2,0,0,0]：两个分支各有2个度2节点，其余3个分支直接连叶子 → 1种结构
• 拆分[2,1,1,0,0]：一个分支有2个度2节点，两个分支各有1个度2节点，其余2个分支直接连叶子 → 1种结构
• 拆分[1,1,1,1,0]：四个分支各有1个度2节点，剩下1个分支直接连叶子 → 1种结构
  这部分总共是5种不同的非同构树。

情况3：x=0，y=8，z=2 #

这就是一条简单的路径链：两个叶子节点，中间8个度为2的节点，显然只有1种结构。

把三种情况的数量加起来：1+5+1=7种。

你一开始逐个构造的思路确实容易有疏漏，因为手动枚举很难覆盖所有可能的结构，还容易重复计数。而先通过树的性质锁定合法的度序列，再针对每种序列分析拆分方式，就能系统且完整地算出所有符合要求的树，效率和准确性都会高很多。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ariana