问题描述 #

给定实数 (a,b,d,e) 满足 (a>d)，定义 (c=a^2+b2)，(f=d^2+e2)，(m=\frac{b-e}{a-d})，(n=\frac{bd-ae}{a-d})。当 (x\in [-a,-d]) 且 (y=mx+n) 时，需要证明：
$$E(x,y)=\sqrt{x^2+y2+2ax+2by+c}+\sqrt{x^2+y2+2dx+2ey+f}$$
的值不依赖于 (x)。

初始思路梳理 #

你一开始做的配方变形真的很关键：

我们可以把 (E(x,y)) 改写为：
$$E(x,y)= \sqrt{x^2+y2+2ax+2by+a^2+b2}+\sqrt{x^2+y2+2dx+2ey+d^2+e2}=\sqrt{(a+x)^2+(b+y)2}+\sqrt{(d+x)^2+(e+y)2}$$

把原式转化成两点间距离的形式是突破口，不过不用纠结闵可夫斯基不等式，我们可以顺着这个几何意义，结合代数推导来解决问题。

正式解法 #

首先，我们先把配方后的式子和坐标对应起来：

• 设点 (P = (-x, -y))，因为 (x\in[-a,-d])，所以 (-x) 的范围是 ([d,a])
• 设固定点 (A = (a, b))，固定点 (B = (d, e))

那么变形后的 (E(x,y)) 其实就是：

• (\sqrt{(a+x)^2+(b+y)2} = |PA|)（点P到点A的距离）
• (\sqrt{(d+x)^2+(e+y)2} = |PB|)（点P到点B的距离）

接下来我们利用 (y=mx+n) 的表达式，先推导 (y+b) 和 (y+e) 的简化形式：
把 (m=\frac{b-e}{a-d})，(n=\frac{bd-ae}{a-d}) 代入 (y)：
$$y = \frac{b-e}{a-d}x + \frac{bd-ae}{a-d}$$

计算 (y+b)：
$$
\begin{align*}
y + b &= \frac{(b-e)x + bd - ae + b(a-d)}{a-d} \
&= \frac{(b-e)x + bd - ae + ab - bd}{a-d} \
&= \frac{(b-e)(x+a)}{a-d}
\end{align*}
$$

同理计算 (y+e)：
$$
\begin{align*}
y + e &= \frac{(b-e)x + bd - ae + e(a-d)}{a-d} \
&= \frac{(b-e)x + bd - ae + ae - ed}{a-d} \
&= \frac{(b-e)(x+d)}{a-d}
\end{align*}
$$

现在代入距离公式计算 (|PA|)：
$$
\begin{align*}
|PA| &= \sqrt{(a+x)^2 + (b+y)^2} \
&= \sqrt{(x+a)^2 + \left( \frac{(b-e)(x+a)}{a-d} \right)^2} \
&= |x+a| \cdot \sqrt{1 + \left( \frac{b-e}{a-d} \right)^2}
\end{align*}
$$
因为 (x\in[-a,-d])，所以 (x+a \geq 0)，去掉绝对值后：
$$|PA| = (x+a) \cdot \frac{\sqrt{(a-d)^2 + (b-e)^2}}{a-d}$$

再计算 (|PB|)：
$$
\begin{align*}
|PB| &= \sqrt{(d+x)^2 + (e+y)^2} \
&= \sqrt{(x+d)^2 + \left( \frac{(b-e)(x+d)}{a-d} \right)^2} \
&= |x+d| \cdot \frac{\sqrt{(a-d)^2 + (b-e)^2}}{a-d}
\end{align*}
$$
因为 (x\in[-a,-d])，所以 (x+d \leq 0)，去掉绝对值后：
$$|PB| = -(x+d) \cdot \frac{\sqrt{(a-d)^2 + (b-e)^2}}{a-d}$$

最后把两个距离相加：
$$
\begin{align*}
E(x,y) &= |PA| + |PB| \
&= \frac{\sqrt{(a-d)^2 + (b-e)^2}}{a-d} \cdot \left[(x+a) - (x+d)\right] \
&= \frac{\sqrt{(a-d)^2 + (b-e)^2}}{a-d} \cdot (a-d) \
&= \sqrt{(a-d)^2 + (b-e)^2}
\end{align*}
$$

这个结果是固定点A和B之间的距离，完全不包含变量x，所以 (E(x,y)) 的值确实和x无关。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IONELA BUCIU