嘿，咱们一步一步来拆解你的问题，先纠正个小笔误：你提到的“Assuming a = b = 0”应该是输入错误啦——标准双曲线的形式一般是$\frac{x^2}{a2} - \frac{y^2}{b2}=r$，要是a=b=0的话方程就没意义了，推测你想说的是a=b=1，也就是你写的$x^2 - y^2=r$，咱们就按这个标准情况来讨论哈！

一、三维方程 $x^2 - y^2 + z^2 = r$ 对应的几何形体 #

首先得明确：这不是曲线，而是三维空间中的曲面（因为包含三个变量x、y、z）。咱们通过截面法来分析它的几何性质：

• 固定y值（比如令$y = y_0$），代入方程得$x^2 + z^2 = r + y_0^2$：这是在垂直于y轴的平面上的圆，半径为$\sqrt{r + y_0^2}$。当$|y_0|$增大时，圆的半径会越来越大；如果r为负且$|y_0| > \sqrt{|r|}$，这个平面上没有实点。
• 固定x值（令$x = x_0$），代入得$z^2 - y^2 = r - x_0^2$：这是垂直于x轴平面上的双曲线（当$r - x_0^2 \neq 0$时）。若$r - x_0^2 > 0$，双曲线的实轴沿z轴；若$r - x_0^2 < 0$，实轴沿y轴；等于0时则是两条相交直线。
• 固定z值的情况和固定x值完全对称，得到的也是双曲线。

所以它不是简单的“双曲线+圆”的混合，而是分三种情况：

• 当r>0时：单叶双曲面——可以想象成一个无限延伸的、中间“收窄”的曲面，像一个拉直的沙漏或者冷却塔的形状；
• 当r<0时：双叶双曲面——分成两个不相连的“叶”，分别位于$y > \sqrt{|r|}$和$y < -\sqrt{|r|}$的区域，每个叶都是向外膨胀的曲面；
• 当r=0时：二次锥面——顶点在原点，开口沿y轴的圆锥，是单叶和双叶双曲面的分界形态。

二、参数r的变化对曲面形状的影响 #

• 当r>0（单叶双曲面）：r越大，整个曲面越“舒展”——每个垂直于y轴的截面圆半径都变大，曲面整体向外膨胀；r趋近于0时，曲面逐渐收缩成那个二次锥面。
• 当r<0（双叶双曲面）：r的绝对值越大，两个“叶”离原点越远，每个截面圆的半径也越大；r趋近于0时，两个叶向原点收缩，最终合并成锥面。
• 当r=0时：就是顶点在原点的锥面，是单叶和双叶双曲面的过渡形态。

三、缩放因子k、m对曲面的影响 #

对于方程$x^2 - ky^2 + mz^2 = r$，咱们分情况讨论（先默认k、m为正数，负数的话会改变曲面类型）：

• 因子k：作用在y²项上，相当于对y轴方向做缩放变换。k>1时，y轴方向被“压缩”，曲面在y方向变得更“扁”；0<k<1时，y轴方向被“拉伸”，曲面在y方向更“修长”。如果k为负数，方程就变成$x^2 + |k|y^2 + mz^2 = r$，此时r>0时是椭球面，r<0时无实点。
• 因子m：作用在z²项上，和x²项同号，相当于对z轴方向做缩放。m>1时，z轴方向被压缩，x-z平面的截面圆会变成椭圆（因为x²和mz²的系数不同）；0<m<1时，z轴方向被拉伸。如果m为负数，方程变成$x^2 - ky^2 - |m|z^2 = r$，r>0时是双叶双曲面，r<0时是单叶双曲面，r=0时是锥面。

简单来说，这些缩放因子本质上是对坐标轴方向进行拉伸或压缩，把“标准”的双曲面变成“椭双曲面”（截面含椭圆的双曲面），改变曲面在各个轴向上的“肥瘦”程度，甚至会直接改变曲面的类型。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tomás